《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. 下列关于抛物线 $ y = x^2 - 2x - 1 $ 的说法中，错误的是(C)。

A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = 1 $
C.当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.顶点坐标为 $ (1, -2) $

答案： 2.C

3. 二次函数 $ y = -x^2 + 2x + 7 $ 的最大值为8。

答案： 3.8

4. (教材第 27 页习题 21.2 第 7 题变式)填空：
(1)函数 $ y = 2x^2 + 1 $，当 $ x $$＞0$时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
(2)函数 $ y = 2x^2 + x $，当 $ x $$＞-\frac{1}{4}$时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
(3)函数 $ y = 2x^2 + x + 1 $，当 $ x $$＞-\frac{1}{4}$时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： 4.
(1)$＞0$
(2)$＞-\frac{1}{4}$
(3)$＞-\frac{1}{4}$

5. 已知抛物线 $ y = -2x^2 - 4x + 1 $。
（1）求此抛物线的对称轴和顶点坐标。
（2）将此抛物线平移，使顶点移到点 $ P(-2, 0) $ 的位置，写出平移后所得抛物线对应的函数表达式和具体的平移过程。

答案： 5.解：
(1)因为$y=-2x^{2}-4x + 1=-2(x + 1)^{2}+3$，所以此抛物线的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为(-1,3).
(2)因为平移前的抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x + 1)^{2}+3$，顶点坐标是(-1,3)，平移后的顶点坐标是$P(-2,0)$，所以平移后所得抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x + 2)^{2}$.平移的过程是先向左平移1个单位，再向下平移3个单位.

6. 一次函数 $ y = ax + b $($ a \neq 0 $)与二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)。

答案： 6.D 提示：
选项 $y = ax + b$ $y = ax^{2}+bx + c$ 结果
A $a＞0,b＞0$ $a＜0,b＜0$ $×$
B $a＞0,b＞0$ $a＞0,b＜0$ $×$
C $a＜0,b＞0$ $a＜0,b＜0$ $×$
D $a＜0,b＜0$ $a＜0,b＜0$ $\surd$

7. 若点 $ A(-3, y_1) $，$ B(-2, y_2) $，$ C(2, y_3) $ 都在二次函数 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 的图象上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系是$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$。(用“$＜$”连接)

答案： 7.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$ 提示：$y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，这个抛物线开口向上，对称轴是直线$x = 1$，当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小.点$C(2,y_{3})$关于直线$x = 1$的对称点是$(0,y_{3})$，又$-3＜-2＜0＜1$，所以$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$.

8. (教材第 21 页练习第 5 题变式)已知抛物线 $ y = -x^2 + 6x - c $ 的顶点在直线 $ y = x $ 上，则 $ c $ 的值为6。

答案： 8.6 提示：$y=-x^{2}+6x - c=-(x - 3)^{2}+9 - c$，这个抛物线的顶点坐标为(3,9 - c).因为抛物线$y=-x^{2}+6x - c$的顶点在直线$y = x$上，所以$9 - c = 3$，即$c = 6$.

9. 如图 5，抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 + bx - 2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且点 $ A $ 的坐标为 $ (-1, 0) $。
（1）求这个抛物线对应的函数表达式。
（2）判断 $ \triangle ABC $ 的形状，并证明你的结论。

答案： 9.解：
(1)因为点$A(-1,0)$在抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx - 2$上，所以$\frac{1}{2}×(-1)^{2}+b×(-1)-2 = 0$.解得$b=-\frac{3}{2}$.所以这个抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2$.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形.证明：当$x = 0$时，$y=-2$，所以$C(0,-2)$，$OC = 2$；当$y = 0$时，$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2 = 0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$.又$A(-1,0)$，故$B(4,0)$.所以$OA = 1$，$OB = 4$，$AB = 5$.因为$AB^{2}=25$，$AC^{2}=OA^{2}+OC^{2}=5$，$BC^{2}=OC^{2}+OB^{2}=20$，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$.所以$\triangle ABC$是直角三角形.