《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 如图4，拦水坝的横断面为梯形$ABCD$，$AD=3\mathrm{m}$，坝高$6\mathrm{m}$，坡角$\alpha=45^{\circ}$，$\beta=30^{\circ}$，求$BC$的长。

思路点拨 如图4，作相应辅助线。

解 如图4，过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$，过点$D$作$DF\perp BC$于点$F$，则四边形$AEFD$是矩形。
$\therefore AE=DF=6\mathrm{m}$，$AD=EF=3\mathrm{m}$。
$\because \frac{AE}{BE}=\tan\alpha$，$\alpha=45^{\circ}$，$\frac{DF}{CF}=\tan\beta$，$\beta=30^{\circ}$，
$\therefore BE=6\mathrm{m}$，$CF=6\sqrt{3}\mathrm{m}$。
$\therefore BC=BE+EF+CF=6+3+6\sqrt{3}=9+6\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
答：$BC$的长为$(9+6\sqrt{3})\mathrm{m}$。

答案： 解：过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$，过点$D$作$DF\perp BC$于点$F$，则四边形$AEFD$是矩形。
$\therefore AE=DF=6\, m$，$AD=EF=3\, m$。
在$ Rt\triangle ABE$中，$\tan\alpha=\frac{AE}{BE}$，$\alpha=45°$，
$\therefore BE=\frac{AE}{\tan45°}=\frac{6}{1}=6\, m$。
在$ Rt\triangle DFC$中，$\tan\beta=\frac{DF}{CF}$，$\beta=30°$，
$\therefore CF=\frac{DF}{\tan30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}\, m$。
$\therefore BC=BE+EF+CF=6+3+6\sqrt{3}=9+6\sqrt{3}\, m$。
答：$BC$的长为$(9+6\sqrt{3})\, m$。

1. 如图5，某游乐场一滑梯的高为$h$，滑梯的坡角为$\alpha$，那么滑梯长$m$为(A)。

A.$\frac{h}{\sin\alpha}$
B.$\frac{h}{\tan\alpha}$
C.$\frac{h}{\cos\alpha}$
D.$h-\sin\alpha$

答案： 1.A

2. 如图6，$AB$是河堤横断面的迎水坡，其中河堤的高$AC=40\sqrt{3}\mathrm{m}$，$AB=80\mathrm{m}$，则斜坡$AB$的坡度$i=$$\sqrt{3}$。

答案： 2.$\sqrt{3}$

3. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多。为方便群众步行健身，某地政府决定对一段坡路进行改造。如图7，改造前的斜坡$AB=200\mathrm{m}$，坡度为$1:\sqrt{3}$。将斜坡$AB$的高度$AE$降低$20\mathrm{m}$后，改造成斜坡$CD$，其坡度为$1:4$。求斜坡$CD$的长。（结果保留根号）

答案： 3.解:
∵　斜坡AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，
∴　$\tan \angle ABE=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.又∠ABE是锐角，
∴　∠ABE=30°.在Rt△AEB 中,由$\sin \angle ABE=\frac{AE}{AB}$，得$AE = AB·\sin \angle ABE = 200×\sin 30^{\circ}=100(m)$.
∵　AC=20m，
∴　CE=AE−AC=80(m).
∵　斜坡CD的坡度为1:4，
∴　$\frac{CE}{ED}=\frac{1}{4}$，即$\frac{80}{ED}=\frac{1}{4}$，解得ED=320m.
∴　$CD=\sqrt{80^{2}+320^{2}}=80\sqrt{17}(m)$.答:斜坡CD的长是$80\sqrt{17}$m.