《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 2 已知抛物线 $y = x^{2}+4x + 7$ 与 $y$ 轴交于点 $A$，与直线 $y = 2x + 10$ 交于点 $B$，$C$。求 $\triangle ABC$ 的面积。
思路点拨 设直线 $y = 2x + 10$ 与 $y$ 轴交于点 $E$。

解 抛物线与直线在平面直角坐标系中的大致位置如图 2，不妨设点 $B$ 在点 $C$ 的右侧，直线交 $y$ 轴于点 $E$。

解方程组 $\begin{cases}y = x^{2}+4x + 7, \\ y = 2x + 10,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x_{1}=1, \\ y_{1}=12,\end{cases}$ $\begin{cases}x_{2}=-3, \\ y_{2}=4.\end{cases}$
所以 $B(1,12)$，$C(-3,4)$。
在 $y = x^{2}+4x + 7$ 中，当 $x = 0$ 时，$y = 7$，故 $A(0,7)$。
在 $y = 2x + 10$ 中，当 $x = 0$ 时，$y = 10$，故 $E(0,10)$。
所以 $AE = 10 - 7 = 3$。
故 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×3 = 6$。

答案： 解方程组$\begin{cases}y = x^{2} + 4x + 7, \\y = 2x + 10,\end{cases}$
得$\begin{cases}x_1 = 1, \\y_1 = 12,\end{cases}\begin{cases}x_2 = -3, \\y_2 = 4.\end{cases}$
所以$B(1,12)$，$C(-3,4)$。
在$y = x^{2} + 4x + 7$中，令$x = 0$，得$y = 7$，所以$A(0,7)$。
在$y = 2x + 10$中，令$x = 0$，得$y = 10$，所以$E(0,10)$。
所以$AE=10 - 7 = 3$。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ACE}$
$=\frac{1}{2}× AE×\vert x_B\vert+\frac{1}{2}× AE×\vert x_C\vert$
$=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×3$
$ = 6$
综上，$\triangle ABC$的面积为$6$。