《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 (1)在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：$ y = -\frac{1}{4}x^2 $，$ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $，$ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $。
(2)观察图象，并填空：
① 抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 的开口方向是向下，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴；抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向上平移2个单位得到。
② 对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $，当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向下平移2个单位得到。
③ 对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $，当 $ x = $0时，函数取得最大值，该值为0；对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $，当 $ x = $0时，函数取得最大值，该值为2；对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $，当 $ x = $0时，函数取得最大值，该值为-2。
(3)将抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 向下平移 4 个单位后得到新抛物线，求这条抛物线对应的函数表达式。
思路点拨 (1)通过列表、描点、连线作出二次函数图象。
(2)根据函数图象可得结论。
(3)结合函数图象和平移规律，可得出新抛物线对应的函数表达式。
解 (1)列表如下：

描点、连线，即得这三个函数的图象，如图 1。

(2)① 抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 的开口向下，顶点坐标是 $ (0, 2) $，对称轴是 $ y $ 轴；抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向上平移 2 个单位得到。
② 对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $，当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向下平移 2 个单位得到。
③ 对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $，当 $ x = 0 $ 时，函数取得最大值，该值为 0；对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $，当 $ x = 0 $ 时，函数取得最大值，该值为 2；对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $，当 $ x = 0 $ 时，函数取得最大值，该值为 -2。
(3)将抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 向下平移 4 个单位后得到新抛物线，其对应的函数表达式是 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 - 4 $，即 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $。

答案： 例
(1)在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：$ y = -\frac{1}{4}x^2 $，$ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $，$ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $。
(2)观察图象，并填空：
① 抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 的开口向下，顶点坐标是 $ (0, 2) $，对称轴是 $ y $ 轴；抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向上平移 2 个单位得到。
② 对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $，当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向下平移 2 个单位得到。
③ 对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $，当 $ x = 0 $ 时，函数取得最大值，该值为 0；对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $，当 $ x = 0 $ 时，函数取得最大值，该值为 2；对于函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $，当 $ x = 0 $ 时，函数取得最大值，该值为 -2。
(3)将抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 $ 向下平移 4 个单位后得到新抛物线，其对应的函数表达式是 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2 - 4 $，即 $ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2 $。