《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 4
如图 16，在四边形 $ ABCD $ 中， $ AB // CD $， $ \angle B = 90° $， $ CD = 7 $， $ E $ 为 $ BC $ 上一点，且 $ AE \perp ED $， $ BC = 12 $， $ BE : EC = 1 : 2 $。求 $ AB $ 的长。

思路点拨

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A[AB//CD] --＞ B[∠C=∠B=90°]
C[∠B=90°] --＞ B
B --＞ D[△ABE∽△ECD]
E[∠BAE=90°−∠AEB] --＞ F[∠BAE=∠CED]
G[∠CED=90°−∠AEB] --＞ F
H[AE⊥ED] --＞ G
D --＞ I[AB/EC = BE/CD]
解
$ \because AB // CD $， $ \angle B = 90° $，
$ \therefore \angle C = 180° - \angle B = 180° - 90° = 90° $。
$ \because \angle B = 90° $，
$ \therefore \angle BAE = 90° - \angle AEB $。
$ \because AE \perp ED $， $ \therefore \angle AED = 90° $。
$ \therefore \angle CED = 180° - \angle AED - \angle AEB = 90° - \angle AEB $。
$ \therefore \angle BAE = \angle CED $。
$ \therefore \triangle ABE \backsim \triangle ECD $。
$ \therefore \frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CD} $。
$ \because BC = 12 $， $ BE : EC = 1 : 2 $，
$ \therefore BE = 4 $， $ EC = 8 $。
$ \because CD = 7 $，
$ \therefore AB = \frac{BE}{CD} · EC = \frac{4}{7} × 8 = \frac{32}{7} $。

答案： $\boxed{\dfrac{32}{7}}$

4. 如图 17，在 $ \triangle ABC $ 中， $ BA = AC $， $ P $， $ D $ 分别是 $ BC $， $ AC $ 边上的点，且 $ \angle APD = \angle B $。
(1) 求证： $ AC · CD = CP · BP $。
(2) 已知 $ BA = 10 $， $ BC = 12 $， $ PD // BA $，求 $ BP $ 的长。

答案： 4.
(1) 证明：
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ ∠APD = ∠B,
∴ ∠APD = ∠C.
∵ ∠APC = ∠B +
∠BAP, ∠APC = ∠APD + ∠CPD,
∴ ∠BAP = ∠CPD.
∴ △ABP ∼ △PCD.
∴$ \frac{BP}{CD}=\frac{BA}{CP} $
∴ BA · CD = CP ·
BP.
∵ BA = AC,
∴ AC · CD = CP · BP.
(2)解：
∵ PD // BA,
∴ ∠APD = ∠BAP. 又 ∠APD = ∠B =
∠C,
∴ △BAP ∼
△BCA.
∴$ \frac{BA}{BC}=\frac{BP}{BA} $
∵ BA = 10, BC = 12,
∴$ \frac{10}{12}=\frac{BP}{10} $
∴$ BP = \frac{25}{3} .$