《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 如图 3，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $， $ E $， $ F $ 分别在边 $ AB $， $ AC $， $ BC $ 上，连接 $ DE $， $ EF $。已知四边形 $ BFED $ 是平行四边形， $ \frac{DE}{BC} = \frac{1}{4} $。
(1) 已知 $ AB = 12 $，求 $ AD $ 的长。
(2) 已知 $ \triangle ADE $ 的面积为 1，求四边形 $ BFED $ 的面积。

答案： 1.解：
(1)
∵ 四边形 BFED 是平行四边形，
∴ DE // BF，即 DE // BC.
∴ △ADE ∼ △ABC.
∴$ \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4} $
∵ AB = 12,
∴ AD = 3.
(2)
∵ △ADE ∼ △ABC，
∴$ \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$
$= (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} $
∵ △ADE 的面积为 1,
∴ △ABC 的面积为
16.
∵ 四边形 BFED 是平行四边形,
∴ BF = DE, EF //
AB.
∴ △EFC ∼ △ABC.
∵$ \frac{DE}{BC}=\frac{1}{4} , $
∴$ \frac{FC}{BC}=\frac{3}{4} .$
∴$ \frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{FC}{BC})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} $
∴ △EFC 的面积为 9.
∴ 四边形 BFED 的面积为 16 - 9 - 1 = 6.

例 2
如图 6， $ AB $， $ CD $ 相交于点 $ O $，连接 $ AC $， $ BD $， $ E $， $ F $ 分别为 $ AC $， $ BD $ 的中点，连接 $ OE $， $ OF $。已知 $ \angle A = \angle D $， $ OA = OF = 6 $， $ OD = 9 $，求 $ OE $ 的长。

思路点拨
mermaid
graph LR
A[∠AOC=∠DOB] --＞ B[△AOC∽△DOB]
C[∠A=∠D] --＞ B
B --＞ D[对应中线比等于相似比]
D --＞ E[OE/OF = OA/OD]
解
$ \because \angle A = \angle D $， $ \angle AOC = \angle DOB $，

$ \therefore \triangle AOC \backsim \triangle DOB $。
$ \because E $， $ F $ 分别为 $ AC $， $ DB $ 的中点，
$ \therefore OE $， $ OF $ 分别为 $ \triangle AOC $， $ \triangle DOB $ 的中线。
$ \therefore \frac{OE}{OF} = \frac{OA}{OD} $，即 $ \frac{OE}{6} = \frac{6}{9} $。
$ \therefore OE = 4 $。

答案： OE的长为4。