《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

11. 在锐角三角形$ABC$中，$\sin B = \frac{1}{2}$，则$\angle B =$30$^{\circ}$

答案： 11.30

12. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 2$，$AC = 3$，则$\tan A =$$\frac{2}{3}$，$\cos A =$$\frac{3\sqrt{13}}{13}$

答案： 12.$\frac{2}{3}$ $\frac{3\sqrt{13}}{13}$

13. 如图6，树$AB$垂直于地面，为测树高，小明在$C$处测得$\angle ACB = 15^{\circ}$，他沿$CB$方向走了$20\ m$，到达$D$处，测得$\angle ADB = 30^{\circ}$，则树的高度是10$ m$

答案： 13.10

14. 如图7，在$ Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$\tan D = \frac{3}{4}$，$C$为斜边$BD$的中点，$P$为$AD$上任一点，过点$P$作$PE \perp AC$于点$E$，$PF \perp BD$于点$F$，则$PE + PF =$$\frac{24}{5}$

答案： 14.$\frac{24}{5}$ 提示:在Rt△ABD中，由tan D=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{4}$，AB=6，得AD=8.由勾股定理，得$BD=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.所以$\sin D=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.由C为斜边BD的中点，得$AC=BC=CD$.所以$\angle CAD=\angle D$.在Rt△APE中，由$\sin\angle EAP=\frac{PE}{AP}=\frac{3}{5}$，得$PE=\frac{3}{5}AP$.在Rt△DPF中，由$\sin D=\frac{PF}{PD}=\frac{3}{5}$，得$PF=\frac{3}{5}PD$.所以$PE+PF=\frac{3}{5}(AP+PD)=\frac{3}{5}AD=\frac{3}{5}×8=\frac{24}{5}$.

15. （14分）如图8，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B = \frac{1}{2}$，$AD = 2$
（1）求$\cos \angle BAD$的值
（2）求$\triangle ABC$的面积

答案： 15.解:
(1)在Rt△ABD中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，$AD=2$，$\therefore BD=4$.由勾股定理，得$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=2\sqrt{5}$.
$\therefore\cos\angle BAD=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
(2)$\because\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore\angle C=45^{\circ}$.$\because\tan C=\frac{AD}{CD}=1$，$AD=2$，$\therefore CD=2$.
$\therefore BC=BD+CD=6$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=6$.

16. （14分）如图9，放置在水平桌面上的台灯的灯臂$AB$长为$30\ cm$，灯罩$BC$长为$20\ cm$，底座厚度$DE$为$2\ cm$，灯臂与底座构成的$\angle BAD = 60^{\circ}$。使用发现，光线最佳时灯罩$BC$与水平线所成的角为$30^{\circ}$，求此时灯罩顶端$C$到桌面的高度$CE$。（结果精确到$0.1\ cm$，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$）

答案：
16.解:如图55，过点B作$BF⊥CD$于点F，作$BG⊥AD$于点G.$\because CE⊥AD$，$BF⊥CD$，$BG⊥AD$，$\therefore$四边形BFDG是矩形.$\therefore BG=FD$.在Rt△BCF中，$\angle CBF=30^{\circ}$，$\therefore CF=BC·\sin30^{\circ}=20×\frac{1}{2}=10(cm)$.在Rt△ABG中，$\angle BAG=60^{\circ}$，$\therefore BG=AB·\sin60^{\circ}=30×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}(cm)$.$\therefore CE=CF+FD+DE=10+15\sqrt{3}+2=12+15\sqrt{3}\approx38.0(cm)$.答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.