《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 2 用反证法证明：一个三角形不可能有两个角是直角。
思路点拨 根据反证法的一般步骤，假设三角形中有两个角是直角，再结合三角形内角和定理解答。
证明 对于任意 $\triangle ABC$，记 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角。
假设 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 中有两个直角，不妨设 $\angle A = \angle B = 90^{\circ}$。
因为 $\angle C ＞ 0^{\circ}$，
所以 $\angle A + \angle B + \angle C ＞ 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$。
这与三角形内角和等于 $180^{\circ}$ 相矛盾。
所以 $\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ 的假设不成立。
故一个三角形不可能有两个角是直角。

答案： 例 2 用反证法证明：一个三角形不可能有两个角是直角。
思路点拨 根据反证法的一般步骤，假设三角形中有两个角是直角，再结合三角形内角和定理解答。
证明 对于任意 $\triangle ABC$，记 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角。
假设 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 中有两个直角，不妨设 $\angle A = \angle B = 90^{\circ}$。
因为 $\angle C ＞ 0^{\circ}$，
所以 $\angle A + \angle B + \angle C ＞ 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$。
这与三角形内角和等于 $180^{\circ}$ 相矛盾。
所以 $\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ 的假设不成立。
故一个三角形不可能有两个角是直角。

1. 已知 $ Rt\triangle ABC$ 的斜边长为 $4$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆的半径为(B)。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 1.B

2. 用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，若同位角不相等，则这两条直线不平行”。
已知：如图 5，直线 $a$，$b$ 被直线 $c$ 所截，$\angle 1 \neq \angle 2$。
求证：直线 $a$ 与直线 $b$ 不平行。
证明：假设a//b，
根据“两直线平行，同位角相等”，
得 $\angle 1 = \angle 2$。
这与已知条件∠1≠∠2相矛盾，
$\therefore$a//b的假设不成立。
$\therefore$ 直线 $a$ 与直线 $b$ 不平行。

答案： 2.a//b　同位角相等　∠1≠∠2　a//b

3. 如图 6，在平面直角坐标系中，$\odot D$ 的一段圆弧经过 $A(0,4)$，$B(4,4)$，$C(6,2)$ 三点。
(1)在图 6 中标出圆心 $D$ 的位置，点 $D$ 的坐标为(2,0)，$\odot D$ 的半径为2$\sqrt{5}$。
(2)点 $(7,0)$ 在 $\odot D$外(填“上”“内”或“外”)。

答案： 3.
(1)(图略)(2,0) 2$\sqrt{5}$　
(2)外

1. 下列命题正确的是(B)。
①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形。

A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④

答案： 1.B

2. 小明不慎把圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图 7。三块碎片中，可以用来配到与原来一样的圆形镜子的是(A)。

A.①
B.②
C.③
D.均不可能

答案： 2.A

3. 用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于 $45^{\circ}$”时，首先应该假设：任意一个钝角三角形中，每个内角都大于或等于45°。

答案： 3.大于或等于45°