《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

$30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}$角的三角函数值：

答案： 知识梳理　从左到右依次填：$\frac{1}{2}$　$\frac{\sqrt{2}}{2}$　$\frac{\sqrt{3}}{2}$　$\frac{\sqrt{3}}{2}$　$\frac{\sqrt{2}}{2}$　$\frac{1}{2}$　$\frac{\sqrt{3}}{3}$　1　$\sqrt{3}$

1. (2022 天津中考)$\tan 45^{\circ}$的值等于(B).

A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 课前自测　1.B

2. 在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，若$\cos A=\dfrac{1}{2}$，则$\angle A$的度数是(C).

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： 课前自测　2.C

3. 求下列各式的值：
(1)$2\sin 30^{\circ}=$1.
(2)$\sin 45^{\circ}-\cos 45^{\circ}=$0.
(3)$\tan 30^{\circ}+\tan 60^{\circ}=$$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

答案： 课前自测　3.
(1)1　
(2)0　
(3)$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

例 1 求下列各式的值：
(1)$\sin 45^{\circ}+2\cos 30^{\circ}-\tan 60^{\circ}$；
(2)$\sin 60^{\circ}-\sin 30^{\circ}· \tan 45^{\circ}+3\tan ^{2}30^{\circ}$.
思路点拨 将特殊角的三角函数值代入求值即可.
解 (1)原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2× \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)原式$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}× 1+3× \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}+3× \dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$.

答案： 例 1 求下列各式的值：
(1)$\sin 45^{\circ}+2\cos 30^{\circ}-\tan 60^{\circ}$；
(2)$\sin 60^{\circ}-\sin 30^{\circ}· \tan 45^{\circ}+3\tan ^{2}30^{\circ}$.
思路点拨 将特殊角的三角函数值代入求值即可.
解
(1)原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2× \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)原式$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}× 1+3× \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}+3× \dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$.

例 2 在锐角三角形$ABC$中，若$\left|\cos A-\dfrac{1}{2}\right|+(1-\tan B)^{2}=0$，则$\angle C$的度数是(C).

A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$105^{\circ}$
思路点拨

解 $\because \left|\cos A-\dfrac{1}{2}\right|+(1-\tan B)^{2}=0$，
$\therefore \cos A-\dfrac{1}{2}=0$，$1-\tan B = 0$.
$\therefore \cos A=\dfrac{1}{2}$，$\tan B = 1$.
$\because \angle A$，$\angle B$为锐角，
$\therefore \angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$.
$\therefore \angle C = 180^{\circ}-\angle A-\angle B = 180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$.
答案 C

答案：
例 2 在锐角三角形$ABC$中，若$\left|\cos A-\dfrac{1}{2}\right|+(1-\tan B)^{2}=0$，则$\angle C$的度数是(

C

).
A. $45^{\circ}$ B. $60^{\circ}$ C. $75^{\circ}$ D. $105^{\circ}$
思路点拨

解 $\because \left|\cos A-\dfrac{1}{2}\right|+(1-\tan B)^{2}=0$，
$\therefore \cos A-\dfrac{1}{2}=0$，$1-\tan B = 0$.
$\therefore \cos A=\dfrac{1}{2}$，$\tan B = 1$.
$\because \angle A$，$\angle B$为锐角，
$\therefore \angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$.
$\therefore \angle C = 180^{\circ}-\angle A-\angle B = 180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$.
答案 C