《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例2 如图3，在矩形ABCD中，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径作圆，所得⊙O交CD于点E，且恰好过点D，∠BOD=120°.连接BD，过点E作EF//BD，交BC于点F.求证：EF是⊙O的切线.
思路点拨 已知EF与⊙O的公共点为E，连接OE，证得OE⊥EF即可得结论.
证明 如图4，连接OE.

∵ OD=OB，∠DOB=120°，
∴ ∠OBD=∠ODB=30°.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD.
∴ ∠CDB=∠OBD=30°.
∴ ∠ODE=∠CDB+∠ODB=60°.
∵ OE=OD，
∴ ∠OED=∠ODE=60°.
∵ EF//BD，
∴ ∠DEF=180°-∠CDB=150°.
∴ ∠OEF=∠DEF-∠OED=90°.
∴ OE⊥EF.
又OE是⊙O的半径，
∴ EF是⊙O的切线.

答案： 证明：
连接 $OE$。
$\because OD = OB$，$\angle DOB = 120°$，
$\therefore \angle OBD = \angle ODB = 30°$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AB // CD$。
$\therefore \angle CDB = \angle OBD = 30°$。
$\therefore \angle ODE = \angle CDB + \angle ODB = 60°$。
$\because OE = OD$，
$\therefore \angle OED = \angle ODE = 60°$。
$\because EF // BD$，
$\therefore \angle DEF = 180° - \angle CDB = 150°$。
$\therefore \angle OEF = \angle DEF - \angle OED = 90°$。
$\therefore OE \perp EF$。
又 $OE$ 是 $\odot O$ 的半径，
$\therefore EF$ 是 $\odot O$ 的切线。

2. 如图5，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，AD平分∠CAM，交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线.
(2)若直径AC=15，AE=3，求DE的长.

答案：

(1)证明：如图92，连接OD.
∵ AD平分∠CAM，
∴ ∠DAE = ∠DAO.
∵ OA = OD，
∴ ∠DAO = ∠ADO，
∴ ∠DAE = ∠ADO，
∴ OD // MN.又DE ⊥ MN，
∴ DE ⊥ OD.又OD是⊙O的半径，
∴ DE是⊙O的切线.
(2)解：如图92，连接CD.
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ADC = 90°.
∵ DE ⊥ MN，
∴ ∠AED = 90°，

∴ ∠ADC = ∠AED.又∠DAE = ∠DAC，
∴ △ADE ∽ △ACD，
∴ $\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{3}{AD}=\frac{AD}{15}$，
∴ AD = 3$\sqrt{5}$.在Rt△ADE中，由勾股定理，得$DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} = 6$.