《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

6. (数学文化)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”：“方田一段，一角圆池占之。”大意是说：如图 14，一块正方形田地的一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)，且正方形的对角线 AB 与⊙O 相交于点 M，N(点 N 在点 M 的右上方)。若 AB 的长为 10，⊙O 的半径为 2，则 BN 的长为$8 - 2\sqrt{2}$。
小锦囊
连接圆心与切点，构造直角三角形。

答案： 6.8 - 2$\sqrt{2}$ 提示：设正方形的一边与⊙O的切点为
C，连接OC，则OC⊥AC.由正方形的性质，得∠OAC = 45°.所
以OA = $\sqrt{2}$OC = 2$\sqrt{2}$.所以BN = AB - OA - ON = 10 -
2$\sqrt{2}$ - 2 = 8 - 2$\sqrt{2}$.

7. 如图 15，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 A，CB 交⊙O 于点 D，AC = $2\sqrt{6}$，CD = 3。求⊙O 的直径长。

答案： 7.解：连接AD.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB =
90°.在Rt△ADC中，AD = $\sqrt{AC² - CD²}$ = $\sqrt{(2\sqrt{6})² - 3²}$ =
$\sqrt{15}$.
∵ AC是⊙O的切线，
∴ ∠BAC = ∠CAD +
∠DAB = 90°.又∠B + ∠DAB = 90°，
∴ ∠CAD = ∠B.又
∠ADC = ∠BAC = 90°，
∴ △ACD∽△BCA.
∴ $\frac{AD}{BA}$ =
$\frac{CD}{CA}$，即$\frac{\sqrt{15}}{BA}$ = $\frac{3}{2\sqrt{6}}$.解得BA = 2$\sqrt{10}$.故⊙O的直径长为
2$\sqrt{10}$.

8. 如图 16，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，以 AC 为直径的⊙O 与 BA 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E，连接 CD。
(1)求证：E 是 BC 边的中点。
(2)求证：$BC^{2} = BD · BA$。
(3)当以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC 是等腰直角三角形。

答案： 8.证明：
(1)连接OD.
∵ DE为⊙O的切线，
∴ ∠ODE = ∠EDC + ∠ODC = 90°.
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ECD + ∠OCD = 90°.又OD = OC，
∴ ∠ODC =
∠OCD.
∴ ∠EDC = ∠ECD.
∴ ED = EC.
∵ AC为⊙O
的直径，
∴ ∠ADC = 90°.
∴ ∠BDE + ∠EDC = 90°，
∠B + ∠ECD = 90°.
∴ ∠B = ∠BDE.
∴ ED = EB.
∴ EB = EC.故E是BC边的中点.
(2)
∵ ∠CDB =
∠ACB = 90°，∠B = ∠B，
∴ △ABC∽△CBD.
∴ $\frac{BA}{BC}$ =
$\frac{BC}{BD}$.
∴ $BC^{2} = BD·BA$.
(3)当四边形ODEC为正方形
时，∠OCD = 45°.由
(1)知∠ADC = 90°，
∴ ∠CAD = 90° -
∠OCD = 45°.又∠ACB = 90°，
∴ ∠B = 90° - ∠CAD = 45°.
∴ ∠B = ∠BAC.
∴ △ABC是等腰直角三角形.