《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

二次函数 $ y = a(x + h)^2 + k $ 的图象和性质：

答案： 上　下　 -h　 -h　减小　增大　增大　减小　小　k　大　k

在同一平面直角坐标系中，二次函数 $ y = x^2 $，$ y = (x + 1)^2 $，$ y = (x + 1)^2 + 1 $ 的图象如图 1。观察图象，解答下列各题：

1. 抛物线 $ y = (x + 1)^2 + 1 $ 的顶点坐标是(D)。

A.$ (0, -1) $
B.$ (-1, 0) $
C.$ (0, 0) $
D.$ (-1, 1) $

答案：
(1)D

2. 对于二次函数 $ y = (x + 1)^2 + 1 $，当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＞ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x = $-1时，$ y $ 有最小值，该值为1。

答案：
(2)减小　增大　 -1　1

3. 抛物线 $ y = x^2 $ 向左平移1个单位可得抛物线 $ y = (x + 1)^2 $；抛物线 $ y = (x + 1)^2 $ 向上平移1个单位可得抛物线 $ y = (x + 1)^2 + 1 $。

答案：
(3)左　1 上　1

例 1 抛物线 $ y = a(x + h)^2 + k $ 的顶点坐标为 $ (2, 3) $，形状与抛物线 $ y = -\frac{1}{3}x^2 $ 相同，但开口方向相反。
1. 求抛物线 $ y = a(x + h)^2 + k $ 对应的函数表达式。
2. 抛物线 $ y = a(x + h)^2 + k $ 经过 $ (x_1, y_1) $，$ (x_2, y_2) $ 两点，其中 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $ 时，比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小。

解
1. 因为抛物线 $ y = a(x + h)^2 + k $ 的顶点坐标为 $ (2, 3) $，所以 $ h = -2 $，$ k = 3 $。
因为抛物线 $ y = a(x - 2)^2 + 3 $ 的形状与抛物线 $ y = -\frac{1}{3}x^2 $ 相同，但开口方向相反，所以 $ a = \frac{1}{3} $。
因此抛物线 $ y = a(x + h)^2 + k $ 对应的函数表达式是 $ y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 3 $。
2. 因为抛物线 $ y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 3 $ 的开口向上，对称轴为直线 $ x = 2 $，所以当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
又 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，即 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 2 $，所以 $ y_1 ＞ y_2 $。

答案： 1. 因为抛物线 $ y = a(x + h)^2 + k $ 的顶点坐标为 $ (2, 3) $，所以 $ h = -2 $，$ k = 3 $。因为抛物线 $ y = a(x - 2)^2 + 3 $ 的形状与抛物线 $ y = -\frac{1}{3}x^2 $ 相同，但开口方向相反，所以 $ a = \frac{1}{3} $。因此抛物线 $ y = a(x + h)^2 + k $ 对应的函数表达式是 $ y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 3 $。2. 因为抛物线 $ y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 3 $ 的开口向上，对称轴为直线 $ x = 2 $，所以当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。又 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，即 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 2 $，所以 $ y_1 ＞ y_2 $。