《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

10. 如图6，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的中线，$E$在$AC$边上，且$AE:EC = 1:2$，$BE$交$AD$于点$P$，则$BP:PE$等于(A)。

A.$3:1$
B.$2:1$
C.$3:2$
D.$4:3$

答案： 10.A 提示:过点D作DF//BE,交AC于点F,则△CDF∽△CBE,又D是BC边上的中点,所以$\frac{DF}{BE}$=$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，故BE=2DF.由AE:EC=1:2,得AE=EF=FC.由PE//DF,得△APE∽△ADF.则有$\frac{PE}{DF}$=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{1}{2}$，即PE=$\frac{1}{2}$DF.所以BP=BE−PE=$\frac{3}{2}$DF.故BP:PE=3:1.

11. 若$2a = 3b(b\neq0)$，则$\frac{a}{b}=$$\frac{3}{2}$。

答案： 11.$\frac{3}{2}$

12. 在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。要使$\triangle ABC\sim\triangle DEF$，还需要添加一个条件，这个条件可以是(答案不唯一)∠B=∠E或$\frac{AC}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$。(写出一个即可)

答案： 12.(答案不唯一)∠B=∠E或$\frac{AC}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$

13. 如图7，在$□ ABCD$中，点$E$是$AB$边的中点，$AC$，$DE$交于点$F$。若$S_{\triangle AEF}=3cm^2$，则$S_{\triangle CDF}=$12$cm^2$。

答案： 13.12

14. 西周数学家商高用图8①中的“矩”(两边互相垂直)测量物高的方法如下：把“矩”的两边放置成图8②中$CD$，$AD$的位置，$AD$边保持与地面平行，从“矩”的一端$A$(人眼)望点$E$，使视线通过点$C$，记人站立的位置为点$B$，量出$BG$的长，即可算得物高$EG$。经测量，得$CD = 60cm$，$AD = 120cm$，$AB = 1.5m$。设$BG = xm$，$EG = ym$，则$y$与$x$之间的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + 1.5$。

答案： 14.$y = \frac{1}{2}x + 1.5$ 提示:由题意,可知FG=AB=1.5m,AF=BG=xm,EF//CD.所以△ACD∽△AEF.则$\frac{AD}{AF}$=$\frac{CD}{EF}$，即$\frac{1.2}{x}$=$\frac{0.6}{y - 1.5}$，故$y = \frac{1}{2}x + 1.5$.

15. （14分）如图9，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$各顶点的坐标分别为$A(1,1)$，$B(4,1)$，$C(2,3)$。
（1）以点$O$为位似中心，在第一象限画出$\triangle ABC$的位似图形$\triangle A_1B_1C_1$，$\triangle A_1B_1C_1$与$\triangle ABC$的相似比为$2:1$。
（2）写出$\triangle A_1B_1C_1$各顶点的坐标。

答案：
15.解:
(1)如图39，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
(2)$A_{1}(2,2)$，$B_{1}(8,2)$，$C_{1}(4,6)$.

16. （14分）如图10，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的中线，过点$D$作$AC$的平行线，过点$C$作$CD$的垂线，两线相交于点$E$。
（1）求证：$\triangle ABC\sim\triangle DEC$。
（2）已知$CE = 2$，$CD = 4$，求$\triangle ABC$的面积。

答案： 16.
(1)证明:
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴ CD=$\frac{1}{2}$AB=AD.
∴ ∠A=∠ACD.
∵ DE//AC，
∴ ∠CDE=∠ACD.
∴ ∠CDE=∠A.
∵ CE⊥CD，
∴ ∠DCE=90°.又∠ACB=90°，
∴ ∠ACB=∠DCE.
∴ △ABC∽△DEC.
(2)解:在Rt△DEC中,CE = 2，CD = 4，由勾股定理，得DE = $\sqrt{CE^{2} + CD^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$，$S_{\triangle DEC}$ = $\frac{1}{2}$CE·CD = 4.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴ AB = 2CD = 8.
∵ △ABC∽△DEC，
∴ $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}$ = ($\frac{AB}{DE}$)$^{2}$，即$\frac{S_{\triangle ABC}}{4}$ = ($\frac{8}{2\sqrt{5}}$)$^{2}$.
∴ $S_{\triangle ABC}$ = $\frac{64}{5}$.