《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

7. 如图8，在矩形ABCD中，AB=1，AD＞AB.在BC上取一点E，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AD边上的点F处.若四边形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，矩形ECDF与矩形ABCD的相似比是$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

答案： $7.\frac{1 + \sqrt{5}}{2} $提示：由题意可知，CD = EF = EB = AF = AB = 1.设AD = x，则DF = x - 1.由相似多边形的性质，得$\frac{EF}{AD}=\frac{DF}{CD}，$即$\frac{1}{x}=\frac{x - 1}{1}.$解得$x_1=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}，$$x_2=\frac{1 - \sqrt{5}}{2}（$舍去）.则$DF = x - 1=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$故矩形ECDF与矩形ABCD的相似比为$DF:CD=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}:1=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$

1. 两条线段的比：如果用同一个长度单位量得两条线段$a$，$b$的长度分别为$m$，$n$，则$m:n$就是线段$a$，$b$的比，记作$a:b=$m:n或$\frac{a}{b}=$m:n。

答案： 1.同一个 $m:n$

2. 比例线段：在四条线段$a$，$b$，$c$，$d$中，如果其中两条线段$a$，$b$的比等于另外两条线段$c$，$d$的比，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$(或$a:b=c:d$)，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，也称这四条线段成比例(注意此时$a$，$b$，$c$，$d$必须按顺序写出)。这时，线段$a$，$b$，$c$，$d$叫做组成比例的项，线段$a$，$d$叫做比例外项，线段$b$，$c$叫做比例内项。
特别地，如果线段$a$，$b$，$c$之间有$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$(或$a:b = b:c$)，那么线段$b$叫做线段$a,c$的比例中项。

答案： 2.比 比 项 外项 内项 $b$ $a,c$

3. 比例的性质：
(1)基本性质 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$ad = bc$($b$，$d\neq0$)。
反之也成立，即若$ad = bc$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$($b$，$d\neq0$)。
(2)合比性质 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a + b}{b}=$$\frac{c + d}{d}$($b$，$d\neq0$)。
(3)等比性质 若$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=·s=\frac{a_n}{b_n}$，且$b_1 + b_2 + ·s + b_n\neq0$，则$\frac{a_1 + a_2 + ·s + a_n}{b_1 + b_2 + ·s + b_n}=$$\frac{a_1}{b_1}$。

答案： 3.
(1)$ad = bc$ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
(2)$\frac{c + d}{d}$
(3)$\frac{a_1}{b_1}$

4. 黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，较长线段与全线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个比值叫做黄金数。

答案： 4.全 较短 全 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

1. 已知线段$a = 1\ cm$，$b = 4\ cm$，$c = 3\ mm$，$d = 12\ mm$。
(1)线段$a$，$b$的比为(B)。
A. $\frac{5}{4}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $1$
D. $4$
(2)$\frac{c}{d}=$$\frac{1}{4}$，线段$a$，$b$，$c$，$d$是(填“是”或“不是”)成比例线段。
(3)若线段$m$为线段$a$，$b$的比例中项，则$m =$2$cm$。

答案： 1.
(1)B
(2)$\frac{1}{4}$ 是
(3)2