《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例2 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=2$，则$\frac{a + b}{b}=$，$\frac{c - d}{c}=$，$\frac{a + 2c}{b + 2d}=$($b + 2d\neq0$)。
思路点拨

已知a/b = c/d = 2
├─a + b / b = 2 + 1 / 1(合比性质)
├─c - d / c = 1 - d/c(与c/d互为倒数)
└─2c/2d = c/d = a/b(结合等比性质，可得结果)
解 因为$\frac{a}{b}=2$，所以$\frac{a + b}{b}=\frac{2 + 1}{1}=3$。
因为$\frac{c}{d}=2$，所以$\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$。
因此$\frac{c - d}{c}=1 - \frac{d}{c}=1 - \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{c}{d}=2$，所以$\frac{2c}{2d}=2$。
因此$\frac{a}{b}=\frac{2c}{2d}=2$。
所以$\frac{a + 2c}{b + 2d}=2$($b + 2d\neq0$)。
答案 $3$ $\frac{1}{2}$ $2$

答案： 3；$\frac{1}{2}$；2

例3 在设计人体雕像时，使雕像的上面部分（肚脐以上）与下面部分（肚脐以下）的高度比等于下面部分与全身的高度比，即满足黄金分割，这样可以增加视觉美感。已知要设计一个高为$2\ m$的人体雕像，要使它满足黄金分割，那么它的下面部分的高度应设计为多少米？（结果保留小数点后两位；参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$）
思路点拨

上面部分的高度 / 下面部分的高度 = 下面部分的高度 / 全身高度
└─构造方程
└─解方程，结合实际问题取值
解 设下面部分的高度为$x\ m$，则上面部分的高度为$(2 - x)\ m$。
根据题意，得$\frac{2 - x}{x}=\frac{x}{2}$。
整理，得$x^2 + 2x - 4 = 0$。
解得$x_1 = -1 + \sqrt{5}$，$x_2 = -1 - \sqrt{5}$（舍去）。
故雕像下面部分的高度应设计为$-1 + \sqrt{5}\approx1.24$（$m$）。
答：雕像的下面部分应设计为$1.24\ m$。

答案： 设雕像下面部分的高度为 $x$ 米，则上面部分的高度为 $2 - x$ 米。
根据题意，得：
$\frac{2 - x}{x} = \frac{x}{2}$，
整理，得：
$x^{2} + 2x - 4 = 0$，
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2×1}$
$=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}$
$=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}$
$=-1\pm\sqrt{5}$
解得：
$x_{1} = - 1 + \sqrt{5} \approx 1.24$，
$x_{2} = - 1 - \sqrt{5}$（由于高度不能为负，所以舍去），
所以，雕像下面部分的高度应设计为 $1.24$ 米。

1. 若长度分别为$6\ cm$，$3\ cm$，$8\ cm$，$a\ cm$的四条线段是比例线段，则$a$的值为(B)。

A.$2$
B.$4$
C.$16$
D.$3$

答案： 1.B

2. (2022山西中考)神奇的自然界处处蕴含着数学知识。如图1，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，这体现了数学中的(D)。


A.平移
B.旋转
C.轴对称
D.黄金分割

答案： 2.D

3. 已知线段$a = 3\ cm$，$b = 12\ cm$，线段$c$是线段$a$，$b$的比例中项，那么线段$c =$6$cm$。

答案： 3.6

4. 若$\frac{a}{b}=\frac{2}{9}$，则$\frac{b + a}{a}=$$\frac{11}{2}$。

答案： 4.$\frac{11}{2}$