《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 1 如图 1，已知 $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{1}{2}$，$AE$，$CD$，$BM$ 分别是 $\triangle ABC$ 的角平分线、中线和高，$A'E'$，$C'D'$，$B'M'$ 分别是 $\triangle A'B'C'$ 的角平分线、中线和高，$AE = 7.5$ cm，$CD = 8$ cm，$BM = 4.5$ cm. 求 $A'E'$，$C'D'$，$B'M'$ 的长.
思路点拨
$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$
$AB:A'B' = 1:2$
对应角平分线的比
对应中线的比
对应高的比
等于相似比
列式求结果
解 $\because \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{1}{2}$，
$\therefore \triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 的相似比是 $1:2$.
$\therefore \frac{AE}{A'E'} = \frac{1}{2}$，$\frac{CD}{C'D'} = \frac{1}{2}$，$\frac{BM}{B'M'} = \frac{1}{2}$.
$\therefore A'E' = 2AE = 2 × 7.5 = 15$（cm），
$C'D' = 2CD = 2 × 8 = 16$（cm），
$B'M' = 2BM = 2 × 4.5 = 9$（cm）.
易错提示 要注意“对应”二字，如对应高（对应中线、对应角平分线）的比等于相似比，并非任意两条高（两条中线、两条角平分线）的比等于相似比.

答案： 解：$\because \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{1}{2}$，
$\therefore \triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 的相似比为 $1:2$。
$\because AE$，$A'E'$ 分别是 $\triangle ABC$，$\triangle A'B'C'$ 的对应角平分线，
$\therefore \frac{AE}{A'E'} = \frac{1}{2}$。
$\because AE = 7.5\ cm$，
$\therefore A'E' = 2AE = 2 × 7.5 = 15\ cm$。
$\because CD$，$C'D'$ 分别是 $\triangle ABC$，$\triangle A'B'C'$ 的对应中线，
$\therefore \frac{CD}{C'D'} = \frac{1}{2}$。
$\because CD = 8\ cm$，
$\therefore C'D' = 2CD = 2 × 8 = 16\ cm$。
$\because BM$，$B'M'$ 分别是 $\triangle ABC$，$\triangle A'B'C'$ 的对应高，
$\therefore \frac{BM}{B'M'} = \frac{1}{2}$。
$\because BM = 4.5\ cm$，
$\therefore B'M' = 2BM = 2 × 4.5 = 9\ cm$。
综上，$A'E' = 15\ cm$，$C'D' = 16\ cm$，$B'M' = 9\ cm$。

例 2 如图 2，$D$，$E$ 分别是 $\triangle ABC$ 的边 $AB$，$BC$ 上的点，且 $DE // AC$，$AE$，$CD$ 相交于点 $O$，$S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COA} = 1:16$.
(1) 求 $\triangle DOE$ 与 $\triangle COA$ 的周长比.
(2) 求 $\triangle BDE$ 与 $\triangle CDE$ 的面积比.
思路点拨

(1) 已知面积比 $\to$ 证 $\triangle DOE$ 与 $\triangle COA$ 相似 $\to$ 周长比 = 相似比
(2) 观察图形 $\to$ $\triangle BDE$ 与 $\triangle CDE$ 等高 $\to$ 由底 $BE$ 与 $EC$ 的比，得面积比
解 (1) $\because DE // AC$，
$\therefore \triangle DOE \backsim \triangle COA$.
又 $S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COA} = 1:16$，
$\therefore \triangle DOE$ 与 $\triangle COA$ 的相似比是 $1:4$.
$\therefore \frac{DO}{CO} = \frac{EO}{AO} = \frac{DE}{CA} = \frac{1}{4}$.
$\therefore \triangle DOE$ 与 $\triangle COA$ 的周长比是 $1:4$.
(2) $\because DE // AC$，
$\therefore \triangle BDE \backsim \triangle BAC$.
$\therefore \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} = \frac{1}{4}$.
$\therefore \frac{BE}{CE} = \frac{1}{3}$.
设点 $D$ 到 $BC$ 的距离为 $h$，则
$S_{\triangle BDE} = \frac{1}{2}BE · h$，$S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2}CE · h$.
$\therefore S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE} = BE:CE = 1:3$，即 $\triangle BDE$ 与 $\triangle CDE$ 的面积比是 $1:3$.
易错提示 相似三角形面积的比等于相似比的平方，不要与相似三角形周长的比等于相似比混淆.

答案：
(1)
$\because DE // AC$，
$\therefore \triangle DOE \sim \triangle COA$，
又 $S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COA} = 1:16$，
$\therefore \triangle DOE$ 与 $\triangle COA$ 的相似比是 $1:4$，
$\therefore \frac{C_{\triangle DOE}}{C_{\triangle COA}} = 1:4$，
即 $\triangle DOE$ 与 $\triangle COA$ 的周长比是 $1:4$。
(2)
$\because DE // AC$，
$\therefore \triangle BDE \sim \triangle BAC$，
$\therefore \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} = \frac{1}{4}$，
$\therefore \frac{BE}{CE} = \frac{1}{3}$，
设点 $D$ 到 $BC$ 的距离为 $h$，
则 $S_{\triangle BDE} = \frac{1}{2}BE · h$，$S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2}CE · h$，
$\therefore S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE} = BE:CE = 1:3$，
即 $\triangle BDE$ 与 $\triangle CDE$ 的面积比是 $1:3$。