《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

5. （教材第72页习题22.1第2题变式）已知四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，相似比是$\frac{5}{4}$，点$A$，$B$，$C$，$D$的对应点分别为点$A_1$，$B_1$，$C_1$，$D_1$，四边形$A_1B_1C_1D_1$的周长为20。求四边形$ABCD$的周长。

答案： 5.解：$\because$ 四边形 $ABCD$ 与四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似，且相似比为 $\frac{5}{4}$，$\therefore \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{5}{4}$，即 $A_1B_1 + B_1C_1 + C_1D_1 + A_1D_1 = \frac{AB + BC + CD + AD}{\frac{5}{4}}$ $\because$ 四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 的周长为 $20$，即 $A_1B_1 + B_1C_1 + C_1D_1 + A_1D_1 = 20$， $\therefore AB + BC + CD + AD = 25$.故四边形 $ABCD$ 的周长为 $25$.

1. 如果线段$a = 5\ mm$，$b = 10\ mm$，那么$\frac{a}{b}$的值为(B)。

A.$\frac{1}{20}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$2$

答案： 1.B

2. 下列各组线段中，成比例的是(C)。

A.$1\ cm$，$2\ cm$，$3\ cm$，$4\ cm$
B.$2\ cm$，$3\ cm$，$4\ cm$，$5\ cm$
C.$2\ cm$，$3\ cm$，$4\ cm$，$6\ cm$
D.$1\ cm$，$2\ cm$，$3\ cm$，$5\ cm$

答案： 2.C

3. 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$($abcd\neq0$)，则下列式子不一定成立的是(D)。

A.$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
B.$\frac{a + c}{c}=\frac{b + d}{d}$
C.$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$
D.$\frac{b - d}{b}=\frac{c - a}{c}$

答案： 3.D

4. 已知线段$a$，$b$，$c$，$\frac{a}{b}=3$，若线段$b$是线段$a$，$c$的比例中项，则$\frac{b}{c}=$3。

答案： 4.3

5. 在比例尺为$1:8000000$的地图上，量得甲、乙两地的距离为$5\ cm$，求实际上甲、乙两地相距多少千米。

答案： 5.解：设甲、乙两地的实际距离为 $x$.根据题意，得$\frac{5}{x} = \frac{1}{8000000}$ 解得 $x = 40000000 cm = 400 km$.答：实际上甲、乙两地相距 $400 km$.

6. (2024山西中考·跨学科)黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图2的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知一条分割线的端点$A$，$B$分别在习字格的边$MN$，$PQ$上，且$AB// NP$，“晋”字的笔画“、”的位置在$AB$的黄金分割点$C$处，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。若$NP = 2\ cm$，则$BC$的长为$\sqrt{5}-1$$cm$。(结果保留根号)

答案： 6.$\sqrt{5}-1$ 提示：由四边形 $MNPQ$ 是正方形，得$\angle N = \angle P = 90^{\circ}$.因为 $AB // NP$，所以$\angle BAN + \angle N = 180^{\circ}$.从而得 $\angle BAN = 90^{\circ}$.所以四边形 $ABPN$ 是矩形.由矩形的性质，得 $AB = NP = 2 cm$.又$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以 $BC = (\sqrt{5}-1)cm$.

7. (教材第72页习题22.1第1题变式)已知$\frac{a + b + c}{2a + b}=\frac{b + c + d}{2b + c}=\frac{a + c + d}{2c + d}=\frac{a + b + d}{2d + a}=k$，且$a + b + c + d\neq0$，则$k$的值为1。

答案： 7.1 提示：由等比性质，得$\frac{3(a + b + c + d)}{3(a + b + c + d)} = k$.故 $k = 1$.