《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

5. 已知一个二次函数的部分图象如图 4，求这个二次函数的表达式。
小锦囊 由函数图象知，抛物线经过点 $(-1,0)$，$(0,3)$，对称轴为直线 $x = 1$，因此只要求出抛物线与 $x$ 轴的另一个交点，即可利用交点式求出函数表达式。
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答案： 5.解:因为该二次函数的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $(-1,0)$，对称轴为直线 $x = 1$，所以该二次函数的图象与 $x$ 轴的另一个交点为$(3,0)$.设该二次函数的表达式为 $y = a(x + 1)(x - 3)$,把$(0,3)$代入,解得 $a = -1$.所以 $y = -(x + 1)(x - 3)$,即 $y = -x^2 + 2x + 3$.所以这个二次函数的表达式是 $y = -x^2 + 2x + 3$.

6. (教材第 23 页练习第 2 题变式)函数 $y = ax^{2}+bx + 1$ 与 $y = bx + a$ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是(D)。

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答案： 6.D

7. (教材第 28 页习题 21.2 第 13 题变式)已知抛物线 $y = -x^{2}+2x - 3$。
(1)与已知抛物线关于 $y$ 轴对称的图象所对应的函数表达式为$y = -(x + 1)^2 - 2$。
(2)与(1)中新得的抛物线关于 $x$ 轴对称的图象所对应的函数表达式为$y = (x + 1)^2 + 2$。

答案： 7.
(1)$y = -(x + 1)^2 - 2$ 提示:$y = -x^2 + 2x - 3 = -(x - 1)^2 - 2$,这个抛物线的顶点坐标为$(1,-2)$,与 $y$ 轴交于点$(0,-3)$.点$(1,-2)$，$(0,-3)$关于 $y$ 轴对称的对应点分别为$(-1,-2)$，$(0,-3)$,即新抛物线的的顶点坐标为$(-1,-2)$,且经过点$(0,-3)$.由此可得,新抛物线对应的函数表达式为 $y = -(x + 1)^2 - 2$.
(2)$y = (x + 1)^2 + 2$ 提示:点$(-1,-2)$，$(0,-3)$关于 $x$ 轴对称的对应点分别为$(-1,2)$，$(0,3)$,即新抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$,且经过点$(0,3)$.由此可得,新抛物线对应的函数表达式为 $y = (x + 1)^2 + 2$.

8. 如图 5，已知抛物线 $y = x^{2}+bx + c$ 过点 $A(1,0)$，点 $B$ 和点 $C(0,-4)$。
(1)求这个抛物线对应的函数表达式。
(2)求 $\triangle ABC$ 的面积。
(3)在抛物线 $y = x^{2}+bx + c$ 上存在一点 $P$，使 $\triangle ABP$ 的面积为 $5$，求点 $P$ 的坐标。
小锦囊 对于第(3)小题，根据 $\triangle ABP$ 的面积为 $5$，可求出点 $P$ 的纵坐标的绝对值(注意点 $P$ 可能在 $x$ 轴的上方，也可能在 $x$ 轴的下方)。
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答案： 8.解:
(1)把 $A(1,0)$，$C(0,-4)$代入 $y = x^2 + bx + c$,得$\begin{cases}1 + b + c = 0, \\b = 3, \\c = -4.\end{cases}$故这个抛物线对应的函数表达式是 $y = x^2 + 3x - 4$.
(2)当 $y = 0$ 时,$x^2 + 3x - 4 = 0$,解得$x_1 = -4,x_2 = 1$.又 $A(1,0)$,故 $B(-4,0)$.所以 $AB = 5$.所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$.
(3)设 $P(m,n)$,由$\triangle ABP$的面积为 $5$,$AB = 5$,得$\frac{1}{2} × 5 × |n| = 5$.解得$n = \pm 2$.
当 $n = 2$ 时,$m^2 + 3m - 4 = 2$,解得$m_1 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$,$m_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}$;当 $m = -2$ 时,$m^2 + 3m - 4 = -2$,解得$m_3 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$,$m_4 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$.综上,点 $P$ 的坐标是$P_1(\frac{-3 + \sqrt{33}}{2},2)$,$P_2(\frac{-3 - \sqrt{33}}{2},2)$,$P_3(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2},-2)$,$P_4(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2},-2)$.