《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 二次函数 $ y = x^2 $ 的大致图象是(A).

答案： 1.A

2. 画出二次函数 $ y = -x^2 $ 的图象，并填空.
(1) 将下列表格补充完整：
(2) 根据上表中 $ x $，$ y $ 的数值在图 1 的平面直角坐标系中描点 $ (x, y) $，用平滑曲线顺次连接各点，得二次函数 $ y = -x^2 $ 的图象.
(3) 抛物线 $ y = -x^2 $ 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0). 当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x = $0时，$ y $ 有最大值，该值为0.

答案：
2.
(1)0 -1 -4
(2)二次函数$y=-x^{2}$的图象如图1.
(3)向下 y轴$(0,0)$ 减小 增大 0 大 0

例 （教材第 10 页练习第 1 题变式）
(1) 在同一平面直角坐标系中，画出函数 $ y = 4x^2 $，$ y = -4x^2 $，$ y = \frac{1}{4}x^2 $ 的图象.
(2) 观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴、最高点或最低点的坐标.
(3) 说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而变化的情况.
(4) 指出这三个函数图象中，哪个开口最大.
思路点拨
(1) 类比一次函数图象的作法，通过列表、描点、连线作出二次函数图象.
(2) 根据函数图象可得结论.
(3) 分别观察各函数图象在对称轴两侧的部分，若是下降的，则函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；若是上升的，则函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(4) 观察函数图象，图象越靠近 $ y $ 轴，则开口越小.
解
(1) 列表如下：
描点、连线，即得这三个函数的图象，如图 2.
(2) 函数 $ y = 4x^2 $ 图象的顶点坐标为 $ (0, 0) $，开口向上，对称轴为 $ y $ 轴，有最低点且最低点的坐标为 $ (0, 0) $.
函数 $ y = -4x^2 $ 图象的顶点坐标为 $ (0, 0) $，开口向下，对称轴为 $ y $ 轴，有最高点且最高点的坐标为 $ (0, 0) $.
函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 图象的顶点坐标为 $ (0, 0) $，开口向上，对称轴为 $ y $ 轴，有最低点且最低点的坐标为 $ (0, 0) $.
(3) 函数 $ y = 4x^2 $ 图象在 $ y $ 轴左侧部分是下降的，即当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ y $ 轴右侧部分是上升的，即当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
函数 $ y = -4x^2 $ 图象在 $ y $ 轴左侧部分是上升的，即当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在 $ y $ 轴右侧部分是下降的，即当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 图象在 $ y $ 轴左侧部分是下降的，即当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ y $ 轴右侧部分是上升的，即当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(4) 观察函数图象可知，函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 图象的开口最大.

答案：
例 （教材第 10 页练习第 1 题变式）
(1) 在同一平面直角坐标系中，画出函数 $ y = 4x^2 $，$ y = -4x^2 $，$ y = \frac{1}{4}x^2 $ 的图象.
(2) 观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴、最高点或最低点的坐标.
(3) 说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而变化的情况.
(4) 指出这三个函数图象中，哪个开口最大.
思路点拨
(1) 类比一次函数图象的作法，通过列表、描点、连线作出二次函数图象.
(2) 根据函数图象可得结论.
(3) 分别观察各函数图象在对称轴两侧的部分，若是下降的，则函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；若是上升的，则函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(4) 观察函数图象，图象越靠近 $ y $ 轴，则开口越小.
解
(1) 列表如下：
描点、连线，即得这三个函数的图象，如图 2.
(2) 函数 $ y = 4x^2 $ 图象的顶点坐标为 $ (0, 0) $，开口向上，对称轴为 $ y $ 轴，有最低点且最低点的坐标为 $ (0, 0) $.
函数 $ y = -4x^2 $ 图象的顶点坐标为 $ (0, 0) $，开口向下，对称轴为 $ y $ 轴，有最高点且最高点的坐标为 $ (0, 0) $.
函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 图象的顶点坐标为 $ (0, 0) $，开口向上，对称轴为 $ y $ 轴，有最低点且最低点的坐标为 $ (0, 0) $.
(3) 函数 $ y = 4x^2 $ 图象在 $ y $ 轴左侧部分是下降的，即当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ y $ 轴右侧部分是上升的，即当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
函数 $ y = -4x^2 $ 图象在 $ y $ 轴左侧部分是上升的，即当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在 $ y $ 轴右侧部分是下降的，即当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 图象在 $ y $ 轴左侧部分是下降的，即当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ y $ 轴右侧部分是上升的，即当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(4) 观察函数图象可知，函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 图象的开口最大.