《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. 如图2，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东$60^{\circ}$方向$500m$处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(A)。


A.$250m$
B.$250\sqrt{3}m$
C.$\frac{500}{3}\sqrt{3}m$
D.$250\sqrt{2}m$

答案： 2.A

3. 如图3，海面上有A，B两岛分别位于C岛的正北方向和正东方向上，一艘船从C岛出发，以$20n mile/h$的速度向正北方向航行$2h$到达A岛，此时测得B岛在A岛的南偏东$58^{\circ}$方向上。则$AC=$40$n mile$，B，C两岛之间的距离为64$n mile$。(参考数据：$\sin 58^{\circ}\approx 0.8$，$\cos 58^{\circ}\approx 0.5$，$\tan 58^{\circ}\approx 1.6$)

答案： 3.40　64

例 某区域平面示意图如图4，点D在河的右侧，AB路段与某桥BC互相垂直。某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东$65^{\circ}$方向，另测得$BC=414m$，$AB=300m$。求点D到AB的距离。（参考数据：$\sin 65^{\circ}\approx 0.91$，$\cos 65^{\circ}\approx 0.42$，$\tan 65^{\circ}\approx 2.14$）

思路点拨 由题意可得$\angle DAB$，$\angle DCB$的度数，则考虑作辅助线构造含已知角的直角三角形，再借助三角函数，结合线段间的等量关系列式求值。
解 如图5，过点D作$DE\perp AB$于点E，过D作$DF\perp BC$于点F，则四边形EBFD是矩形。

设$DE=x m$，在$Rt\triangle ADE$中，$\angle AED=90^{\circ}$，$\angle DAE=65^{\circ}$，
$\because \tan \angle DAE=\frac{DE}{AE}$，
$\therefore AE=\frac{DE}{\tan \angle DAE}\approx \frac{x}{2.14}$。
$\therefore BE=(300-\frac{x}{2.14})m$。
又$BF=DE=x m$，
$\therefore CF=(414-x)m$。
在$Rt\triangle CDF$中，$\angle DFC=90^{\circ}$，$\angle DCF=45^{\circ}$，
$\therefore DF=CF=(414-x)m$。
又$BE=DF$，
$\therefore 300-\frac{x}{2.14}=414-x$。
解得$x=214$。
故点D到AB的距离是$214m$。

答案： 解：过点 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于点 $E$，作 $DF \perp BC$ 于点 $F$，则四边形 $EBFD$ 是矩形。
设 $DE = x$ m。
在 $ Rt \triangle ADE$ 中，$\angle AED = 90°$，$\angle DAE = 65°$，
$\tan \angle DAE = \frac{DE}{AE}$，
$AE = \frac{DE}{\tan \angle DAE} \approx \frac{x}{2.14}$，
$BE = (300 - \frac{x}{2.14})$ m。
又 $BF = DE = x$ m，
$CF = (414 - x)$ m。
在 $ Rt \triangle CDF$ 中，$\angle DFC = 90°$，$\angle DCF = 45°$，
$DF = CF = (414 - x)$ m。
又 $BE = DF$，
$300 - \frac{x}{2.14} = 414 - x$，
解得 $x = 214$。
故点 $D$ 到 $AB$ 的距离是 $214$ m。