《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

6. 如图17，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H。已知$\sin\angle CDB=\frac{3}{5}$，BD=5，则AH的长为(B)。

A.$\frac{25}{3}$
B.$\frac{16}{3}$
C.$\frac{25}{6}$
D.$\frac{8}{3}$

答案：
6.B　提示:如图75，连接OD.由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H,得AB⊥CD.在Rt△BDH中，sin∠HDB=$\frac{BH}{BD}$=$\frac{3}{5}$,BD=5,所以BH=3.故DH=$\sqrt{BD²−BH²}$=4.设OH=x,则OD=OB=x+3.在Rt△ODH中,由勾股定理,得x²+4²=(x+3)².解得x=$\frac{7}{6}$,即OH=$\frac{7}{6}$.故AH=OA+OH=$\frac{7}{6}$+3+$\frac{7}{6}$=$\frac{16}{3}$.

7. 已知⊙O的半径为13，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=24，CD=10，则AB和CD之间的距离为7或17。
- 小锦囊
需分类讨论AB，CD的位置情况。

答案：
7.7或17　提示:作OE⊥AB于点E,交CD于点F,连接OA,OC.由题意可知,OF⊥CD,则AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=12,CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=5.在Rt△OAE中,OE=$\sqrt{OA²−AE²}$=5.在Rt△OCF中,OF=$\sqrt{OC²−CF²}$=12.
如图76,当圆心O在AB与CD的同侧时,EF=OF−OE=12−5=7.如图77,当圆心O在AB与CD之间时,EF=OF+OE=12+5=17.

8. 如图18，在半径为$\sqrt{13}$的⊙O中，弦AB与CD交于点E，$\angle DEB=75^{\circ}$，AB=6，AE=1。求CD的长。

- 小锦囊
观察图形，AB与CD交于点E，则连接OE，作为已知弦长AB和未知弦长CD的中间量。过点O作弦AB，CD的垂线段，构造直角三角形，结合垂径定理、锐角三角函数求解。

答案：
8.解:如图78,过点O作OF⊥CD于点F,OG⊥AB于点G,连接OB,OD,OE.
∴　DF=CF,AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴　EG=AG−AE=3−1=2.在Rt△BOG中,OG=$\sqrt{OB²−BG²}$=$\sqrt{(\sqrt{13})^{2} - 3^{2}}$=2,
∴　EG=OG.
∴　△EOG是等腰直角三角形,∠OEG = 45°,OE=$\sqrt{2}$OG=2$\sqrt{2}$.又∠DEB = 75°,
∴　∠OEF = 75° - 45° = 30°.
∴　OF=$\frac{1}{2}$OE=$\sqrt{2}$.在Rt△ODF中,DF=$\sqrt{OD²−OF²}$=$\sqrt{(\sqrt{13})^{2} - (\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{11}$,
∴　CD=2DF=2$\sqrt{11}$.

1. 圆心角及圆的中心对称性：
(1) 顶点在圆心的角叫做圆心角。
(2) 圆是旋转对称图形，也是中心对称图形，旋转(对称)中心为圆心。

答案： 1.
(1)圆心　
(2)圆心

2. 圆心角、弧、弦、弦心距间关系的定理及推论：
(1) 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等。

答案： 2.
(1)弧　弦　弦心距　
(2)相等

3. 圆心角的度数和它所对的弧的关系：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

答案： 3.相等

1. 下列图形中的角属于圆心角的为(C)。

答案： 1.C