《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

- 例 2 用图象法求一元二次方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 的根。
- 思路点拨

画二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象，图象与 $ x $ 轴交点的横坐标；画函数 $ y = x^{2} $，$ y = 4x - 3 $ 的图象，两函数图象交点的横坐标。
- 解
方法一：如图 2，在平面直角坐标系中画出二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象。由图象可知，方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 的根是 $ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 3 $。


方法二：如图 3，分别画出函数 $ y = x^{2} $ 和函数 $ y = 4x - 3 $ 的图象。两图象交点的横坐标分别是 1 和 3，所以方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 的根是 $ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 3 $。

答案： 解：
方法一：
1. 画出二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的图象。
2. 图象与 $ x $ 轴的交点为 $ (1, 0) $ 和 $ (3, 0) $。
3. 因此，方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的根为 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $。
方法二：
1. 画出函数 $ y = x^2 $ 和函数 $ y = 4x - 3 $ 的图象。
2. 两图象的交点横坐标为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $。
3. 因此，方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的根为 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $。

1. 在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图 4，则方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根的情况是(B)。

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断的

答案： 1.B

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根分别为 $ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 2 $，则抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 的对称轴为直线(C)。

A.$ x = 1 $
B.$ x = 2 $
C.$ x = \frac { 3 } { 2 } $
D.$ x = - \frac { 3 } { 2 } $
- 小锦囊 若抛物线与 $ x $ 轴的两个交点坐标分别为 $ ( m, 0 ) $，$ ( n, 0 ) $，则它的对称轴为直线 $ x = \frac { m + n } { 2 } $。

答案： 2.C