《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. (2022山东日照中考)如图14,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x²+2mx+3m,点A(3,0).
(1)当抛物线过点A时,求抛物线对应的函数表达式.
(2)无论m为何值,抛物线必过一定点D,求点D的坐标.
(3)在(1)的条件下,抛物线与y轴交于点B,点P是抛物线上位于第一象限的点,连接AB,PD交于点M,PD与y轴交于点N.设$S=S_{△PAM} - S_{△BMN},$是否存在这样的点P,使得S有最大值?若存在,则请求出点P的坐标,并求出S的最大值;若不存在,则请说明理由.

答案：
2. 解:
(1) 把 $A(3, 0)$ 代入 $y = -x^2 + 2mx + 3m$，得 $-9 + 6m + 3m = 0$。解得 $m = 1$。所以抛物线对应的函数表达式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。
(2) 因为 $y = -x^2 + 2mx + 3m = -x^2 + m(2x + 3)$，所以当 $2x + 3 = 0$，即 $x = -\frac{3}{2}$ 时，$y = -\frac{9}{4}$。所以 $D(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$。
(3) 在 $y = -x^2 + 2x + 3$ 中，当 $x = 0$ 时，$y = 3$。所以 $B(0, 3)$，即 $OB = 3$。如图 18，连接 $OP$。设 $P(n, -n^2 + 2n + 3)$，直线 $PD$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b$。由 $\begin{cases}-\frac{3}{2}k + b = -\frac{9}{4} \\ kn + b = -n^2 + 2n + 3\end{cases}$，得 $k = -\frac{1}{2}(2n - 7)$，所以 $ON = |-\frac{3}{2}n + 3|$。当点 $N$ 在 $y$ 轴正半轴时（在 $y$ 轴负轴时同理），因为 $S = S_{\triangle PAM} - S_{\triangle BMN}$，所以 $S = (S_{\triangle PAM} + S_{四边形AONM}) - (S_{四边形AONM} + S_{\triangle BMN}) = S_{四边形AONP} - S_{\triangle AOB}$。因为 $S_{四边形AONP} = S_{\triangle AOP} + S_{\triangle PON} = \frac{1}{2}×3(-n^2 + 2n + 3) + \frac{1}{2}(-\frac{3}{2}n + 3)n = -\frac{9}{4}n^2 + \frac{9}{2}n + \frac{9}{2}$，$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}OA· OB = \frac{1}{2}×3×3 = \frac{9}{2}$。所以 $S = -\frac{9}{4}n^2 + \frac{9}{2}n = -\frac{9}{4}(n - 1)^2 + \frac{9}{4}$。因为 $0 ＜ n ＜ 3$，所以当 $n = 1$ 时，$S$ 取得最大值 $\frac{9}{4}$，$-n^2 + 2n + 3 = -1^2 + 2×1 + 3 = 4$，即 $P(1, 4)$。