《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

5. (教材第 12 页练习第 1 题、第 2 题变式)
(1)在图 3 中，画出下列二次函数的图象：$ y = -\frac{1}{2}x^2 $，$ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $。

(2)观察图 3 中所画的图象，并填空：
① 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $ 的开口方向是向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)。抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向上平移2个单位得到。
② 对于函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $，当 $ x ＜ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
③ 对于函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $，当 $ x = $0时，函数取得最大值，该值为0。对于函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $，当 $ x = $0时，函数取得最大值，该值为2。

答案：
5.解:
(1)二次函数图象如图5.　
(2)①向下　y轴　0　2　上　2　②增大　减小　③0　大　0　0　大　2

6. 抛物线 $ y = x^2 + 3 $ 上有 $ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $ 两点，则下列说法正确的是(D)。

A.若 $ 0 \leq x_1 ＜ x_2 $，则 $ y_1 ＞ y_2 $
B.若 $ y_1 ＞ y_2 $，则 $ x_2 = x_1 $
C.若 $ x_2 ＜ x_1 \leq 0 $，则 $ y_1 ＞ y_2 $
D.若 $ x_1 = 0 $，则 $ y_1 \leq y_2 $

答案： 6.D　提示:抛物线$y=x^{2}+3$开口向上,对称轴为y轴，在y轴左侧,该抛物线是下降的,在y轴右侧,该抛物线是上升的.对于选项A,当$0\leq x_{1}＜x_{2}$时,A,B两点在y轴右侧,点A有可能在对称轴上,所以$y_{1}＜y_{2}$.故选项A不符合题意.对于选项B,当$y_{1}＞y_{2}$时,点A在点B上方,由抛物线的对称性可知，$\vert x_{1}\vert＞\vert x_{2}\vert$.故选项B不符合题意.对于选项C,当$x_{2}＜x_{1}\leq0$时,A,B两点在y轴左侧,点A有可能在对称轴上，所以$y_{1}＜y_{2}$.故选项C不符合题意.对于选项D,当$x_{1}=0$时,点A是抛物线$y=x^{2}+3$的顶点,即点A是该抛物线的最低点,所以$y_{1}\leq y_{2}$.故选项D符合题意.

7. 若二次函数 $ y = (m + 1)x^2 + m^2 - 9 $ 有最大值，且其图象向下平移 7 个单位后过原点，则 $ m = $-4。

答案： 7.-4　提示:因为二次函数$y=(m + 1)x^{2}+m^{2}-9$有最大值,即其图象开口向下,所以$m + 1＜0$.故$m＜-1$.原二次函数图象向下平移7个单位得到新抛物线对应的函数表达式为$y=(m + 1)x^{2}+m^{2}-9 - 7$,即$y=(m + 1)x^{2}+m^{2}-16$.将$(0,0)$代入$y=(m + 1)x^{2}+m^{2}-16$,得$m^{2}-16 = 0$.所以$m=\pm4$.又$m＜-1$,所以$m=-4$.

8. 已知抛物线 $ y = ax^2 + n $ 与 $ y = -2x^2 $ 的形状大小和开口方向都相同，且抛物线 $ y = ax^2 + n $ 的顶点到 $ x $ 轴的距离为 3。
（1）求 $ a $，$ n $ 的值。
（2）写出抛物线 $ y = ax^2 + n $ 的开口方向、对称轴和顶点坐标。
小锦囊 要对抛物线 $ y = ax^2 + n $ 的顶点在 $ x $ 轴的上方还是下方进行分类讨论。

答案： 8.解:
(1)因为抛物线$y=ax^{2}+n$与$y=-2x^{2}$的形状大小和开口方向都相同,所以$a=-2$.因为抛物线$y=ax^{2}+n$是由抛物线$y=ax^{2}$沿y轴方向平移$\vert n\vert$个单位得到的,又抛物线$y=ax^{2}+n$的顶点到x轴的距离为3,所以$n=\pm3$.
(2)当$n = 3$时,$y=-2x^{2}+3$,抛物线的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是$(0,3)$;当$n=-3$时,$y=-2x^{2}-3$,抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是$(0,-3)$.