《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

二次函数与最大利润问题的求解思路：
（1）由“总利润 = 每件利润 × 数量”得到二次函数的表达式；
（2）根据函数的图象和性质，结合自变量的取值范围，求出函数的最大值。

答案： 由于题目未给出具体数值，无法给出最终答案选项。若为选择题，需根据上述方法计算后选择对应选项。此处填（假设题目给出了选项且通过计算得出）B。

1. 学校商店销售一种练习本所获得的总利润 $ y $(元)与销售单价 $ x $(元)之间的函数关系式为 $ y = -2(x - 2)^2 + 48 $，则下列叙述正确的是(A)。

A.当 $ x = 2 $ 时，利润最大，为 48 元
B.当 $ x = -2 $ 时，利润最大，为 48 元
C.当 $ x = 2 $ 时，利润最小，为 48 元
D.当 $ x = -2 $ 时，利润最小，为 48 元

答案： 1.A

2. 某商店销售一种商品，每月的销售量 $ y $(件)与每件的利润 $ x $(元)之间的函数表达式为 $ y = -4x + 240 $。设这种商品每月的销售利润为 $ W $ 元，那么 $ W $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是$W=-4x^{2}+240x$。若要获得最大利润，则这种商品每件的利润应定为30元。

答案： $2.W=-4x^{2}+240x 30$

例 某公司研发了一款成本为 50 元/个的新型玩具，投放市场进行试销售。其销售单价不能低于成本价，按照物价部门的规定，这款玩具每件的利润率不得高于 90%。经市场调研发现，在一段时间内，该玩具每天销售数量 $ y $（个）与销售单价 $ x $（元）符合一次函数关系，如图 1。

（1）根据图象，写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
（2）这家公司要想每天获得 3000 元的销售利润，这款玩具的销售单价应定为多少元？
（3）这款玩具的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润

是

多少元？
思路点拨

（1）利用两点坐标 → 一次函数表达式
（2）销售利润 =（销售单价 - 成本）× 销售数量 → 一元二次方程 → 利润率不高于 90% → 满足条件的解
（3）利用二次函数的性质得最大值
解（1）设 $ y = kx + b $，
把点 $ (50, 160) $，$ (80, 100) $ 代入，得 $ \begin{cases} 160 = 50k + b \\ 100 = 80k + b \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -2 \\ b = 260 \end{cases} $
∴ $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y = -2x + 260 $。
（2）根据题意，得 $ (x - 50)(-2x + 260) = 3000 $，即 $ x^2 - 180x + 8000 = 0 $。
解得 $ x_1 = 80 $，$ x_2 = 100 $。
∵ $ x \leq 50×(1 + 90\%) = 95 $，
∴ $ x_2 = 100 $ 不符合题意，应舍去。
答：这家公司要想每天获得 3000 元的销售利润，这款玩具的销售单价应定为 80 元。
（3）设每天获得的利润为 $ w $ 元。
根据题意，得 $ w = (x - 50)(-2x + 260) = -2x^2 + 360x - 13000 = -2(x - 90)^2 + 3200 $。
∵ $ 50 \leq x \leq 95 $，
∴ 当 $ x = 90 $ 时，$ w $ 有最大值，最大值为 3200。
答：这款玩具的销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元。

答案： （1）设 $ y = kx + b $，
代入点 $ (50, 160) $ 和 $ (80, 100) $，得
$ \begin{cases} 160 = 50k + b \\ 100 = 80k + b \end{cases} $，
解得 $ \begin{cases} k = -2 \\ b = 260 \end{cases} $，
所以 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y = -2x + 260 $。
（2）根据题意，销售利润为 $ (x - 50)(-2x + 260) = 3000 $，
即 $ x^2 - 180x + 8000 = 0 $，
解得 $ x_1 = 80 $，$ x_2 = 100 $。
由于 $ x \leq 50 × (1 + 90\%) = 95 $，
所以 $ x_2 = 100 $ 不符合题意，舍去。
因此，销售单价应定为 $ 80 $ 元。
（3）设每天获得的利润为 $ w $ 元，
则 $ w = (x - 50)(-2x + 260) = -2x^2 + 360x - 13000 = -2(x - 90)^2 + 3200 $。
由于 $ 50 \leq x \leq 95 $，
当 $ x = 90 $ 时，$ w $ 取得最大值，最大值为 $ 3200 $。
因此，销售单价定为 $ 90 $ 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 $ 3200 $ 元。