《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

17. （16分）如图11，在$\triangle ABC$中，$BC = 30$，$BC$边上的高$AD = 18$，作矩形$PQRS$，$P$，$S$两点分别在$AB$，$AC$边上，$Q$，$R$两点在$BC$边上，$AD$交$PS$于点$M$。
（1）当$PS = 2PQ$时，求$PQ$的长。
（2）当$PQ$为何值时，矩形$PQRS$的面积为$120$？

答案： 17.解:
(1)设PQ = a，则PS = 2a.
∵ 四边形PQRS是矩形，
∴ PS//QR，即PS//BC.
∴ △APS∽△ABC.
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = 90°，AD⊥PS.
∴ 四边形PMDQ是矩形.
∴ MD = PQ = a.
∴ AM = AD - MD = 18 - a.
∵ △APS∽△ABC，
∴ $\frac{PS}{BC}$ = $\frac{AM}{AD}$，即$\frac{2a}{30}$ = $\frac{18 - a}{18}$.解得a = $\frac{90}{11}$.
∴ PQ = $\frac{90}{11}$.
(2)设PQ = x，由
(1)知，$\frac{PS}{BC}$ = $\frac{AM}{AD}$，
∴ PS = $\frac{AM · BC}{AD}$ = $\frac{5(18 - x)}{3}$.
∵ 矩形PQRS的面积为120，
∴ PQ·PS = x·$\frac{5(18 - x)}{3}$ = 120，即$x^{2} - 18x + 72 = 0$.解得$x_{1} = 12$，$x_{2} = 6$.故当PQ为12或6时，矩形PQRS的面积为120.

18. （20分）综合与实践
【问题情境】5月1日，南宁市在民族广场举行“五一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全体劳动者的节日里用庄严的升国旗仪式向所有伟大的劳动者致敬。某校把“测量旗杆”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：$m$）的皮尺、标杆、平面镜等。（注：以下数据为多次测量的平均值）
【实践探究】某小组测量方案及数据如下表：

【问题解决】
（1）请运用所学知识，根据上表中的测量数据，帮助“数学实践小组”求出旗杆的长度。
（2）请运用所学知识，再设计一种方案，画出示意图，并写出需要测量的量。

答案：
18.解:
(1)如图40（见下页），过点D作DG⊥BC交EF于点H，交BC于点G.由题意可知，DH = AE = 0.5m，HG = BE = 20.5m，BG = EH = AD = 1.6m.由题意可得△DFH∽△DCG.
∴ $\frac{FH}{DH}$ = $\frac{CG}{DG}$，则$\frac{EF - EH}{AE}$ = $\frac{CG}{DH + HG}$，即$\frac{2 - 1.6}{0.5}$ = $\frac{CG}{0.5 + 20.5}$.解得CG = 16.8m.
∴ 旗杆的长度BC = BG + CG = 1.6 + 16.8 = 18.4(m).

(2)答案不唯一，合理即可.