《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

6. 二次函数 $ y = ax^2 $ 与一次函数 $ y = ax + a $ 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(D).

答案： 6.D 提示：一次函数$y=ax+a$的图象与x轴交于点$(-1,0)$,故可排除选项A,B.当$a＞0$时,二次函数$y=ax^{2}$的图象开口向上,一次函数$y=ax+a$的图象经过第一、二、三象限;当$a＜0$时,二次函数$y=ax^{2}$的图象开口向下,一次函数$y=ax+a$的图象经过第二、三、四象限.排除选项C.

7. （教材第 11 页练习第 5 题变式）已知二次函数 $ y = (m - 3)x^2 + m $ 的图象经过原点.
(1) 求这个函数的表达式.
(2) 当 $ x $ 为何值时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？

答案： 7.解：
(1)因为这个二次函数的图象经过原点,所以$m=0$.则$m - 3 = -3$,所以这个函数的表达式为$y=-3x^{2}$.
(2)当$x＜0$时,函数y随x的增大而增大.

8. 如图 5，直线 $ l $ 过 $ A(4, 0) $，$ B(0, 4) $ 两点，它与二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象在第一象限内交于点 $ P $. 若 $ S_{\triangle AOP} = \frac{9}{2} $，求这个二次函数的表达式.

答案： 8.解：设直线$l$的函数表达式为$y=kx+b$.因为直线$l$过$A(4,0),B(0,4)$两点,所以$\begin{cases}4k+b=0,\\k=-1,\\b=4.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4.\end{cases}$所以直线$l$的函数表达式为$y=-x + 4$.设点$P$的坐标为$(m,n)$.因为$S_{\triangle AOP}=\frac{9}{2}$,所以$\frac{1}{2} · 4 · n=\frac{9}{2}$.解得$n=\frac{9}{4}$.因为点$P$在直线$l$上,所以$-m + 4=\frac{9}{4}$.解得$m=\frac{7}{4}$.所以$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$.
因为点$P$在抛物线$y=ax^{2}$上,所以$(\frac{7}{4})^{2}a=\frac{9}{4}$.解得$a=\frac{36}{49}$.所以这个二次函数的表达式为$y=\frac{36}{49}x^{2}$.