《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 图形在平面直角坐标系中的旋转：
在平面直角坐标系中，把一个图形以原点 $ O $ 为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果。

把 $ (x,y) $ 变换成 $ (x,y) $ 的变换叫做恒等变换。一个图形绕原点 $ O $ 作 $ 360^{\circ} $ 旋转是一个恒等变换。

答案： 1.(-y,x)　　(-x,-y)　　(y,-x)　　(x,y)

2. 图形变换与图案设计：我们已经学过的图形变换有 平移、轴对称、旋转，利用这些图形变换中的一种或几种的组合，可以进行图案设计。

答案： 2.平移　轴对称　旋转

1. 下列图形可由图 1 经过旋转得到的是（$\quad$）。

答案： 1.C

2. 在平面直角坐标系中，点 $ A(-1,1) $ 关于原点 $ O $ 中心对称的点的坐标是 (1,-1)。

答案： 2.(1,-1)

例 1 如图 2，已知在 $ \triangle ABO $ 中，$ AB \perp OB $，$ \angle AOB = 30^{\circ} $，$ OB = \sqrt{3} $，点 $ B $ 在以 $ O $ 为原点的平面直角坐标系中 $ x $ 轴的正半轴上。把 $ \triangle ABO $ 绕点 $ O $ 顺时针方向旋转 $ 150^{\circ} $ 后得到 $ \triangle A_1B_1O $，则点 $ A $ 的对应点 $ A_1 $ 的坐标为 。

思路点拨

画出旋转后的边 $ OA_1 $ → $ OA_1 = OA $，$ \angle AOA_1 = 150^{\circ} $ → 过点 $ A_1 $ 作 $ A_1E \perp x $ 轴，构造直角三角形 → 求出 $ A_1E $，$ OE $ → 结合 $ A_1 $ 所在象限，得出坐标
解 如图 2，作 $ A_1E \perp x $ 轴于点 $ E $。
在 $ Rt \triangle ABO $ 中，$ OB = \sqrt{3} $，$ \angle AOB = 30^{\circ} $，
$\therefore AB = OB · \tan 30^{\circ} = 1$，$ OA = \frac{OB}{\cos 30^{\circ}} = 2 $。
由旋转的性质，得 $ \angle AOA_1 = 150^{\circ} $，$ OA_1 = OA = 2 $。
$\therefore \angle A_1OB = \angle AOA_1 - \angle AOB = 120^{\circ} $。
$\therefore \angle A_1OE = 180^{\circ} - \angle A_1OB = 60^{\circ} $。
$\therefore OE = OA_1 · \cos 60^{\circ} = 1 $，$ A_1E = OA_1 · \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} $。
又点 $ A_1 $ 在第三象限，
$\therefore A_1(-1,-\sqrt{3}) $。
答案 $ (-1,-\sqrt{3}) $
易错提示 要注意旋转方向是顺时针，还是逆时针。

答案： $(-1,-\sqrt{3})$