《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例1 (2022四川广元中考)如图3，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF。在点E处测得山顶A的仰角为45°，在与点E相距80m的C处测得山顶A的仰角为30°，在与点F相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C，E，F，D在同一直线上。求隧道EF的长度。

思路点拨 已知∠ACE，∠AED，∠ADF的度数，则考虑作AH⊥CD，此时构造了3个含已知角的直角三角形，分别为Rt△AHC，Rt△AHE，Rt△AHD。结合三角函数、以AH作为“中间量”，求出EH，DH，即可得EF的长。
解 如图4，过点A作AH⊥CD于点H。

设EH=x m，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴ AH=EH·tan45°=x m。
∵ CE=80m，
∴ CH=CE+EH=(80+x)m。
在Rt△ACH中，∠ACH=30°，tan∠ACH= $\frac{AH}{CH}$，
∴ $\frac{x}{80+x}$= $\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∴ x=40$\sqrt{3}$+40。
经检验x=40$\sqrt{3}$+40是原方程的根。
∴ AH=EH=(40$\sqrt{3}$+40)m。
在Rt△AHD中，∠ADH=45°，
∴ DH= $\frac{AH}{tan45°}$=(40$\sqrt{3}$+40)m。
∴ EF=EH+DH-DF=(80$\sqrt{3}$+70)m。
答：隧道EF的长度为(80$\sqrt{3}$+70)m。

答案： 过点 $A$ 作 $AH \perp CD$ 于点 $H$。
设 $EH = x$ m，
在 $Rt\triangle AEH$ 中，$\angle AEH = 45°$，
$\therefore AH = EH · \tan 45° = x m$。
$\because CE = 80$ m，
$\therefore CH = CE + EH = (80 + x) m$。
在 $Rt \triangle ACH$ 中，$\angle ACH = 30°$，
$\tan \angle ACH = \frac{AH}{CH}$，
$\therefore \frac{x}{80 + x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore x = 40\sqrt{3} + 40$。
经检验 $x = 40\sqrt{3} + 40$ 是原方程的根。
$\therefore AH = EH = (40\sqrt{3} + 40) m$。
在 $Rt\triangle AHD$ 中，$\angle ADH = 45°$，
$\therefore DH = \frac{AH}{\tan 45°} = (40\sqrt{3} + 40) m$。
$\therefore EF = EH + DH - DF = (40\sqrt{3} + 40) + (40\sqrt{3} + 40) - 10 = 80\sqrt{3} + 70 m$。
答：隧道 $EF$ 的长度为 $ (80\sqrt{3} + 70) m $。

1. (2022新疆中考)王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度。如图5，小希站在自家阳台上(A处)，看对面一栋楼顶部(B处)的仰角为45°，看这栋楼底部(C处)的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度。(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

答案： 1.解：过点A作AE⊥BC于E，则AE = CD = 30 m.在Rt△ABE中，∠BAE = 45°，AE = 30 m，
∴BE = AE = 30 m.在Rt△ACE中，∠CAE = 37°，AE = 30 m，
∴CE = AE·tan 37°≈30×0.75 = 22.5(m).
∴BC = BE + CE≈52.5(m).答：这栋楼的高度约为52.5 m.