《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

- 比例线段
定义：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则线段$a$，$b$，$c$，$d$叫做成比例线段，简称比例线段。
性质
基本性质：如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么ad = bc($b$，$d\neq0$)。如果$ad = bc$，那么$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$($b$，$d\neq0$)。
合比性质：如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$\frac{a + b}{b}=$$\frac{c + d}{d}$($b$，$d\neq0$)。
等比性质：如果$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=·s=\frac{a_n}{b_n}$，且$b_1 + b_2 + ·s + b_n\neq0$，那么$\frac{a_1 + a_2 + ·s + a_n}{b_1 + b_2 + ·s + b_n}=$$\frac{a_{1}}{b_{1}}$。
平行线分线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例。
- 相似三角形
判定
定义法：对应角相等，对应边长度的比相等的两个三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似。
定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似。
定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
性质
定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
定理2：相似三角形周长的比等于相似比。
定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
应用：测量高度或宽度。
- 图形的位似变换
定义：如果一个图形上的点$A_1$，$B_2$，$·s$，$P_1$与另一个图形上的点$A$，$B$，$·s$，$P$分别对应，且满足下面两点：(1)直线$AA_1$，$BB_1$，$·s$，$PP_1$都经过同一点$O$；(2)$\frac{OA_1}{OA}=\frac{OB_1}{OB}=·s=\frac{OP_1}{OP}=k$，那么这两个图形叫做位似图形，点$O$叫做位似中心。
性质
具有相似图形的所有性质。
特殊性质：对应点的连线相交于一点；对应边互相平行或在同一直线上。
平面直角坐标系中位似变换的规律：如果以原点为位似中心，相似比为$k(k\gt0)$，那么位似图形上对应点的坐标的比等于$k$或$-k$。

答案： 知识清单 $ad = bc$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $\frac{c + d}{d} = \frac{a_{1}}{b_{1}}$ 成比例 成比例 相等 相等 平行 两角 两边 夹角 三边 相似比 相似比 相似比的平方 点 边 原点