《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

- 例 2 某小区设计了一块周长为 $ 16 \, m $ 的矩形宣传牌，设矩形的一边长为 $ x \, m $，面积为 $ S \, m^2 $。
1. 求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围。
2. $ S $ 是 $ x $ 的什么函数？
思路点拨
1. 如图 1，矩形宣传牌 $ ABCD $ 的周长为 $ 16 \, m $，则 $ BC + CD = 8 \, m $。又 $ BC = x \, m $，故 $ CD = (8 - x) \, m $。根据 $ S_{ 矩形ABCD} = BC · CD $ 可列出表达式。
2. 将（1）中所得表达式的右边展开并按自变量 $ x $ 的降幂排列，即可得出结论。
解
1. 因为矩形宣传牌的周长为 $ 16 \, m $，且一边长为 $ x \, m $，所以另一边长为 $ (8 - x) \, m $。根据题意，得 $ S = x(8 - x) $。由矩形的边长均大于 $ 0 $，得 $ x ＞ 0 $，$ 8 - x ＞ 0 $。所以自变量 $ x $ 的取值范围是 $ 0 ＜ x ＜ 8 $。
2. $ S = x(8 - x) = 8x - x^2 = -x^2 + 8x $，故 $ S $ 是 $ x $ 的二次函数。
易错提示 在实际问题中，自变量的取值范围会有一定的限制，如本题隐含了矩形宣传牌的边长应大于 $ 0 $ 的条件。

答案： 1.
根据题意，矩形宣传牌的周长为 $16 m$，一边长为 $x m$，则另一边长为 $\frac{16}{2} - x = (8 - x) m$。
矩形的面积 $S$ 可表示为：
$S = x × (8 - x) = 8x - x^{2}$
即：
$S = -x^{2} + 8x$
由于矩形的边长必须大于0，因此：
$x ＞ 0$
$8 - x ＞ 0$
解得：
$0 ＜ x ＜ 8$
所以自变量 $x$ 的取值范围是 $0 ＜ x ＜ 8$。
2.
由第一部分的解答，已经得到 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系为：
$S = -x^{2} + 8x$
这是一个关于 $x$ 的二次函数，因此 $S$ 是 $x$ 的二次函数。

1. 下列函数属于二次函数的是(D)。

A.$ y = ax^2 + b $($ a $，$ b $ 是常数)
B.$ y = 4x + 3 $
C.$ y = x^2 + \frac{1}{x^2} $
D.$ s = t^2 - 2t + 1 $

答案： 1.D

2. 某商品的原价为 $ 30 $ 元/件，进行了两次降价，降价后该商品的价格为 $ y $ 元/件。设平均每次降价的百分比为 $ x $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为(C)。

A.$ y = 30(1 + 2x) $
B.$ y = 30(1 + x)^2 $
C.$ y = 30(1 - x)^2 $
D.$ y = 30(1 - 2x) $

答案： 2.C

3. 若函数 $ y = (a + 1)x^2 + x + 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ a $ 的取值范围是$a\neq -1$。

答案： $3.a\neq -1 $提示：由二次函数的定义，得$a + 1\neq0.$故$a\neq -1.$