《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 切线长：
切线上一点到切点之间的线段长.

答案： 1.切点

2. 切线长定理：
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

答案： 2.相等　平分

1. 如图1，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B.若PA=3，则PB的长为(B).

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 1.B

2. 如图2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PA=2，∠P=60°，则AB的长为(B).

A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.3

答案： 2.B

3. 如图3，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.若∠APB=60°，PO=2，则∠APO=30°，⊙O的半径为1.

答案： 3.30　1

例 如图5，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠P=60°.
（1）求PA的长.
（2）求∠COD的度数.

思路点拨
（1）

（2）

解
（1）∵ CA，CE是⊙O的切线，
∴ CA=CE.
同理，得DE=DB，PA=PB.
∴ △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA=12.
∴ PA=6.
（2）∵ ∠P=60°，
∴ ∠PCD+∠PDC=120°.
∴ ∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.
∵ CA，CE是⊙O的切线，
∴ ∠OCE=$\frac{1}{2}$∠ACD.
同理，得∠ODE=$\frac{1}{2}$∠CDB.
∴ ∠OCE+∠ODE=$\frac{1}{2}$(∠ACD+∠CDB)=$\frac{1}{2}$×240°=120°.
∴ ∠COD=180°-(∠OCE+∠ODE)=180°-120°=60°.

答案： （1）
∵ CA，CE是⊙O的切线，
∴ CA=CE.同理，得DE=DB，PA=PB.
∴ △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA=12.
∴ PA=6.
（2）
∵ ∠P=60°，
∴ ∠PCD+∠PDC=120°.
∴ ∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.
∵ CA，CE是⊙O的切线，
∴ ∠OCE=$\frac{1}{2}$∠ACD.同理，得∠ODE=$\frac{1}{2}$∠CDB.
∴ ∠OCE+∠ODE=$\frac{1}{2}$(∠ACD+∠CDB)=$\frac{1}{2}$×240°=120°.
∴ ∠COD=180°-(∠OCE+∠ODE)=180°-120°=60°.