《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

6. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图 7，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c - 2 = 0 $ 的根的情况是(C)。

A.有两个不相等的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根

- 小锦囊 判断方程 $ ax^{2} + bx + c - 2 = 0 $ 的根的情况，就是考查抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与直线 $ y = 2 $ 的交点情况。

答案： 6.C　提示:抛物线$y = ax^2 + bx + c$与直线$y = 2$只有1个交点，故关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$有两个相等的实数根.

7. (2022 黑龙江大庆中考)已知函数 $ y = mx^{2} + 3mx + m - 1 $ 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 $ m $ 的值是1或$-\frac{4}{5}$。
- 小锦囊 要分别考虑函数图象与 $ x $ 轴，$ y $ 轴的交点个数。

答案： 7.1或$-\frac{4}{5}$　提示:当$m = 0$时,$y = -1$,与坐标轴只有一个交点,不符合题意.当$m \neq 0$时,函数$y = mx^2 + 3mx + m - 1$的图象与坐标轴恰有两个公共点，有以下两种情况:①函数图象与$x$轴有两个交点，且其中一个为坐标原点，则$m - 1 = 0$,解得$m = 1$,满足$\Delta ＞ 0$;②分别与$x$轴,$y$轴有一个交点,此时$\Delta = (3m)^2 - 4m(m - 1) = 0$,解得$m = 0$(舍去)或$m = -\frac{4}{5}$.

8. 已知函数 $ y = | x^{2} - 4 | $ 的大致图象如图 8，若方程 $ | x^{2} - 4 | = m $($ m $ 为实数)有 4 个不相等的实数根，则 $ m $ 的取值范围是$0 ＜ m ＜ 4$。

答案： 8.$0 ＜ m ＜ 4$　提示:观察图象可知,$y \geq 0$,当$-2 ＜ x ＜ 2$ 时,$y$的最大值为4.故当$0 ＜ m ＜ 4$时，直线$y = m$与函数$y = |x^2 - 4|$的图象有4个交点.此时,方程$|x^2 - 4| = m$($m$为实数)有4个不相等的实数根.

二次函数($y = ax^{2} + bx + c$)与一元二次不等式($ax^{2} + bx + c ＞ 0$，$ax^{2} + bx + c ＜ 0$)的关系：
续表

答案： x₁；x₂；无解；无解；x₁；x₂；x₁；全体实数

1. 如图1，抛物线$y = x^{2} - 4x - 12$与$x$轴有两个交点，分别为$(-2, 0)$，$(6, 0)$，则当$y ＜ 0$时，$x$的取值范围是(A)。


A.$-2 ＜ x ＜ 6$
B.$-2 ＜ x ＜ 8$
C.$x ＜ -2$或$x ＞ 8$
D.$x ＜ -2$或$x ＞ 6$

答案： 1.A