《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

8. 已知$C$，$D$是线段$AB$上的任意两点。
（1）如图3，$D$是线段$BC$的中点，$AC=\frac{1}{3}AD$，求$BD:AC$的值。
（2）如图4，点$C$把线段$AB$分为$2:3$的两段（$AC ＜ BC$），点$D$把线段$AB$分为$1:5$的两段（$AD ＜ BD$），$CD = 7$。求线段$AB$的长。

答案： 8.解：
(1)$\because$ $D$ 是线段 $BC$ 的中点，$\therefore CD = BD$. $\because AC = \frac{1}{3}AD$，$AD = AC + CD$，$\therefore \frac{AC + CD}{AC} = 3$. $\therefore \frac{CD}{AC} = 2$，即 $BD:AC$ 的值为 $2$.
(2)由题意可知，$AD: BD = 1:5$.设 $AD = x$，则 $BD = 5x$，$AB = 6x$.$\because \frac{BC}{AC} = \frac{3}{2}$，$\therefore \frac{BC + AC}{AC} = \frac{5}{2}$，即$\frac{AB}{AC} = \frac{5}{2}$.$\therefore AC = 6x · \frac{2}{5} = \frac{12}{5}x$.根据题意，得 $CD = AC - AD = 7$，即$\frac{12}{5}x - x = 7$.解得 $x = 5$.$\therefore AB = 6 × 5 = 30$.

9. (新定义题)如图5，实数$a$，$n$，$m$，$b$满足$a ＜ n ＜ m ＜ b$，这四个数在数轴上对应的点分别为$A$，$N$，$M$，$B$，点$M$，$N$均是线段$AB$的黄金分割点，且$AM ＞ BM$，$AN ＜ BN$，称$m$为$a$，$b$的“大黄金数”，$n$为$a$，$b$的“小黄金数”。当$b - a = 4$时，$m - n =$$\sqrt{5}-8$。

小锦囊 $AB = b - a = 4$，$MN = m - n$。根据黄金分割比列方程，将求两数差转化为求线段长，体现了数形结合思想。

答案： 9.$\sqrt{5}-8$ 提示：由题意，得 $AB = b - a = 4$.设 $AM = x$，则 $BM = 4 - x$.由点 $M$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点，得 $AM^2 = AB · BM$，即 $x^2 = 4(4 - x)$.解得 $x_1 = -2 + 2\sqrt{5}$， $x_2 = -2 - 2\sqrt{5}$(舍去).故 $AM = 2\sqrt{5}-2$.同理可得，$BN = 2\sqrt{5}-2$.所以 $m - n = MN = AM + BN - AB = 2(2\sqrt{5}-2)- 4 = 4\sqrt{5}-8$.(也可直接代入黄金数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$列方程求解)

1. (八年级下册第 19 章)平行线等分线段:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.

答案： 正确

2. 平行线分线段成比例(基本事实):两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例.

答案： 2.成比例　成比例

1. 如图 1,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$.若$\frac {AD}{DB}=\frac {2}{3}$,则$\frac {AE}{EC}$的值为(C).

A.$\frac {1}{3}$
B.$\frac {2}{5}$
C.$\frac {2}{3}$
D.$\frac {3}{5}$

答案： 1.C