《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例1 如图4，$CD$是$Rt\triangle ABC$斜边上的高。若$AB = 5$，$AC = 3$，则$\tan \angle BCD$为()。

A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

解 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = 4$。
$\therefore \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3}$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle A + \angle B = 90^{\circ}$。
$\because CD \perp AB$，
$\therefore \angle BCD + \angle B = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BCD = \angle A$。
$\therefore \tan \angle BCD = \tan A = \frac{4}{3}$。
答案 A
易错提示 根据正切公式求锐角的正切值的前提条件是这个锐角在直角三角形中。

答案： A

例2 图5是地铁某站扶梯的示意图，扶梯$AB$的坡度$i = 5:12$。王老师乘扶梯从扶梯底端$A$以$0.5m/s$的平均速度用时$40s$到达扶梯顶端$B$，则王老师上升的铅直高度$BC$为$m$。

解 根据题意，得$AB = 0.5 × 40 = 20(m)$。
$\because$ 扶梯$AB$的坡度$i = 5:12$，
即$\frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}$，
$\therefore$ 设$BC = 5a m$，则$AC = 12a m$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{(12a)^{2} + (5a)^{2}} = 13a$。
$\therefore 13a = 20$。
解得$a = \frac{20}{13}$。
$\therefore BC = 5a = 5 × \frac{20}{13} = \frac{100}{13}(m)$。
答案 $\frac{100}{13}$

答案： $\frac{100}{13}$

1. (2024云南中考)如图6，在$Rt\triangle ABC$中，若$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 4$，则$\tan A$的值是(C)。

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 1.C