《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

8. （2023 广西中考）如图 8，$ \triangle A B C $ 是边长为 $ 4 $ 的等边三角形，点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别在边 $ A B $，$ B C $，$ C A $ 上运动，满足 $ A D = B E = C F $。
（1）求证：$ \triangle A D F \cong \triangle B E D $。
（2）设 $ A D $ 的长为 $ x $，$ \triangle D E F $ 的面积为 $ y $，求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式。
（3）结合（2）所得的函数，描述 $ \triangle D E F $ 的面积随 $ A D $ 的增大如何变化。

答案：
8.
(1)证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = 60°，AB = AC.又AD = CF.
∴ AB - AD = AC - CF，即BD = AF.在△ADF和△BED中，AD = BE，∠A = ∠B，AF = BD，
∴ △ADF ≌ △BED(SAS).
(2)解：如图19，分别过点C，F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H，G. 在等边三角形ABC中，∠A = ∠B = ∠ACB = 60°，AB = BC = AC = 4，
∴ AH = $\frac{1}{2}$AB = 2.
∴ CH = $\sqrt{4² - 2²}$ = 2$\sqrt{3}$.
∴ S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$AB·CH = 4$\sqrt{3}$.
∵ AD的长为x，
∴ AD = BE = CF = x，AF = 4 - x.在Rt△AFG中，∠A = 60°，
∴ ∠AFG = 30°.
∴ AG = $\frac{1}{2}$AF = $\frac{1}{2}$(4 - x).
∴ FG = $\sqrt{(4 - x)² - (\frac{1}{2}(4 - x))²}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$(4 - x).
∴ S_{△ADF} = $\frac{1}{2}$AD·FG = $\frac{\sqrt{3}}{4}$x(4 - x).同理
(1)可得，△ADF ≌ △BED ≌ △CFE.
∴ S_{△ADF} = S_{△BED} = S_{△CFE} = $\frac{\sqrt{3}}{4}$x(4 - x).
∵ △DEF的面积为y，
∴ y = S_{△ABC} - 3S_{△ADF} = 4$\sqrt{3}$ - $\frac{3\sqrt{3}}{4}$x(4 - x) = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$x² - 3$\sqrt{3}$x + 4$\sqrt{3}$(0 ≤ x ≤ 4).
(3)解：由
(2)可知，y = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$x² - 3$\sqrt{3}$x + 4$\sqrt{3}$，
∴ a = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ＞ 0，这个函数图象的对称轴为直线x = -$\frac{-3\sqrt{3}}{2×\frac{3\sqrt{3}}{4}}$ = 2.
∴ 当0 ≤ x ≤ 2时，y随x的增大而减小，当2 ＜ x ≤ 4时，y随x的增大而增大.即当0 ≤ x ≤ 2时，△DEF的面积随AD的增大而减小，当2 ＜ x ≤ 4时，△DEF的面积随AD的增大而增大.

建立适当的平面直角坐标系解决二次函数应用题的一般步骤：
(1) 建立适当的平面直角坐标系；
(2) 将已知条件转化为点的坐标；
(3) 合理地设出所求函数的表达式；
(4) 代入已知条件或点的坐标，求出函数表达式；
(5) 利用函数图象和性质求解问题。

答案： 按上述步骤进行解题（本题无选项内容，若为填空选择题根据实际选项填入）。

1. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立图 1 所示的平面直角坐标系，其对应的函数表达式为 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $。当水面离桥拱顶的高度 $ DO $ 是 $ 4m $ 时，水面宽度 $ AB $ 为(C)。


A.$ -20m $
B.$ 10m $
C.$ 20m $
D.$ -10m $

答案： 1.C

2. 某射电望远镜的轴截面呈抛物线形，口径 $ AB $ 为 $ 500m $，最低点 $ E $ 到口径 $ AB $ 的距离是 $ 100m $。建立图 2 所示的平面直角坐标系，顶点 $ E $ 的坐标为 $ (0, -100) $，则点 $ B $ 的坐标为 (250，0)，此抛物线对应的函数表达式为$y = \frac{1}{625}x^2 - 100$。

答案： 2.250　$y = \frac{1}{625}x^2 - 100$