《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例2
如图13,抛物线y=ax²+bx+3与坐标轴分别交于A,B(-3,0),C(1,0)三点,P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线对应的函数表达式.
(2)过点P作PH⊥x轴于点H,交AB于点F,在点P运动过程中,求线段PF长度的最大值.
(3)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?最大面积是多少?求出此时点P的坐标.
思路点拨

(1)
$y = ax^2 + bx + 3$
$ 将B(-3,0), C(1,0) 代入 \to 求得a,b$
(2)
$PF = PH - FH$
$\begin{cases}点P 在抛物线上 \to 设点P 的横坐标为t \\点F 在直线AB 上 \to 直线AB 对应的函数表达式\end{cases}$
$\to 用含t 的式子表示出PH 与FH$
(3)
$S_{△PAB} = S_{△PFB} + S_{△PFA} = \frac{1}{2}PF·BH + \frac{1}{2}PF·OH = \frac{1}{2}PF(BH + OH) = \frac{1}{2}PF·OB. 由(2)得$
解
(1)把B(-3,0),C(1,0)代入y=ax²+bx+3,得
$\begin{cases}9a - 3b + 3 = 0, \\a + b + 3 = 0.\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a = -1, \\b = -2.\end{cases}$
∴抛物线对应的函数表达式为y=-x²-2x+3.
(2)在y=-x²-2x+3中,当x=0时,y=3,
∴A(0,3).
设直线AB对应的函数表达式为y=kx+n,把A(0,3),B(-3,0)代入,得
$\begin{cases}n = 3, \\-3k + n = 0.\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = 1, \\n = 3.\end{cases}$
∴直线AB对应的函数表达式为y=x+3.
∵点P在抛物线上,点F在直线AB上,
∴设P(t,-t²-2t+3),则F(t,t+3).
∴PF=-t²-2t+3-(t+3)=-t²-3t=-(t+\frac{3}{2})²+\frac{9}{4}.
又-3 ＜ t ＜ 0,
∴当t=-\frac{3}{2}时,PF取到最大值\frac{9}{4}.
(3)∵S_{△PAB}=S_{△PFB} + S_{△PFA} = \frac{1}{2}PF·BH + \frac{1}{2}PF·OH = \frac{1}{2}PF·OB = \frac{3}{2}PF,
∴当PF取最大值时,△PAB的面积最大.
由(2)知,当t=-\frac{3}{2}时,PF取到最大值\frac{9}{4}.
∴S_{△PAB}的最大值为\frac{3}{2}×\frac{9}{4} = \frac{27}{8}.此时,点P的坐标为(-\frac{3}{2},\frac{15}{4}).

答案：
(1) 将 $B(-3,0)$，$C(1,0)$ 代入 $y = ax^2 + bx + 3$，得：
$\begin{cases}9a - 3b + 3 = 0, \\a + b + 3 = 0.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1, \\b = -2.\end{cases}$
抛物线对应的函数表达式为 $y = -x^2 - 2x + 3$。
(2) 在 $y = -x^2 - 2x + 3$ 中，当 $x = 0$ 时，$y = 3$，所以 $A(0,3)$。
设直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = kx + n$，把 $A(0,3)$，$B(-3,0)$ 代入，得：
$\begin{cases}n = 3, \\-3k + n = 0.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = 1, \\n = 3.\end{cases}$
直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = x + 3$。
设 $P(t, -t^2 - 2t + 3)$，则 $F(t, t + 3)$。
$PF = -t^2 - 2t + 3 - (t + 3) = -t^2 - 3t = -(t + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$。
又 $-3 ＜ t ＜ 0$，当 $t = -\frac{3}{2}$ 时，$PF$ 取到最大值 $\frac{9}{4}$。
(3) $S_{\triangle PAB} = S_{\triangle PFB} + S_{\triangle PFA} = \frac{1}{2}PF · BH + \frac{1}{2}PF · OH = \frac{1}{2}PF(BH + OH) = \frac{1}{2}PF · OB = \frac{3}{2}PF$。
当 $PF$ 取最大值时，$\triangle PAB$ 的面积最大。
由
(2) 知，当 $t = -\frac{3}{2}$ 时，$PF$ 取到最大值 $\frac{9}{4}$。
$S_{\triangle PAB}$ 的最大值为 $\frac{3}{2} × \frac{9}{4} = \frac{27}{8}$。
此时，点 $P$ 的坐标为 $(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。