《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

6. 某校对教室进行“熏药法消毒”处理，已知药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)之间的函数关系如图7，其中当$ x ＜ 6 $时，y与x成正比例关系，当$ x \geq 6 $时，y与x成反比例关系。根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求当$ x \geq 6 $时，y与x之间的函数表达式。
(2)求点A的坐标。
(3)在药物燃烧释放过程中，空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30min，即为有效消毒。请判断本次消毒是否为有效消毒，并说明理由。
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答案： 6.解：
(1)当$x\geq6$时，设 y 与 x 之间的函数表达式为$ y=\frac{k}{x}.$将(18,4)代入，得$4=\frac{k}{18}.$解得$k=72.\therefore $当$x\geq6$时，y 与 x 之间的函数表达式为$ y=\frac{72}{x}(x\geq6). (2)$当x=6时，得$y=\frac{72}{6}=12.\therefore $点 A 的坐标为(6,12).
(3)本次消毒为有效消毒.理由：由点 A(6,12)可得，OA 所在直线对应的函数表达式为 y=2x.将 y=1.5代入 y=2x，得1.5=2x.解得x=0.75.将 y=1.5代入$ y=\frac{72}{x}，$得$1.5=\frac{72}{x}.$解得x=48.
因为$48 - 0.75=47.25(\min)＞30\min，$所以本次消毒为有效消毒.

7. 如图8，小红在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地的截面图，平台AB(水平)与x轴的距离为8，与y轴交于点B，与滑道AM交于点A，滑道AM是双曲线$ y = \frac{k}{x} $的一部分，$ AB = 3 $，$ MN \perp x $轴，$ MN = 2 $，P是AM上的一点，且点P到x轴的距离为4，设$ ON = b $。
(1)k的值为24，点P的横坐标是6，$ b = $12。
(2)一小球从点B出发沿抛物线运动，落在滑道AM上的点P处后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，第2次弹起后小球的最高点的坐标为(10,6)。
①求抛物线G对应的函数表达式。
②请判断小球第2次弹起后，是否还会落在滑道AM上，并说明理由。
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答案： 7.解：
(1)24 6 12 提示：由题意可知，点 A 的坐标为(3,8)，点 P 的纵坐标为4，点 M 的横坐标为b，纵坐标为2.
则k=3×8=24.故滑道 AM 对应的函数表达式为$ y=\frac{24}{x}.$当y=4时，x=6；当y=2时，x=12.
(2)①设抛物线 G 对应的函数表达式为$ y=a(x - 10)^2+6.$将 P(6,4)代入，得$4=a(6 - 10)^2+6.$解得$a=-\frac{1}{8}.$故抛物线 G 对应的函数表达式为$ y=-\frac{1}{8}(x - 10)^2+6. ②$不会.理由：把x=12代入$y=-\frac{1}{8}(x - 10)^2+6，$得$y=5.5.\because 5.5＞2，$$\therefore $小球第2次弹起后，不会落在滑道 AM 上.