《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

4. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个 10 元，在销售过程中发现，日销售量 $ y $（个）与销售单价 $ x $（元）之间满足图 2 所示的一次函数关系。
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式（不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围）。
（2）设这批玩具日销售利润为 $ w $ 元，当这批玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

答案： 4.解：
(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，把点(25，50)，点(35，30)代入，得$\begin{cases}25k+b=50,\\35k+b=30.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=100.\end{cases}$
y与x之间的函数表达式为y=-2x+100.
(2)根据题意，得$w=(x-10)(-2x+100)=-2(x-30)^{2}+800.$当x=30时，w有最大值，最大值为800.答：当这批玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元.

5. 经市场调查，发现某商店进价为每个 40 元的某款书包每月的销售量 $ y $(个)与销售单价 $ x $(元)的相关信息如下：

(1)试用你学过的函数来描述 $ y $ 与 $ x $ 的关系，这个函数是一次函数(填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”)，这个函数的表达式为y=-2x+400。
(2)当这款书包的销售单价为多少元时，当月的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果这款书包每个的利润率不得高于 80%，那么当销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少？

答案： 5.解：
(1)一次函数y=-2x+400提示：由表格数据可知，销售单价每增加10元，销售量对应减少20个，所以这个函数是一次函数.设这个函数的表达式为y=kx+b，根据题意，得$\begin{cases}60k+b=280,\\70k+b=260.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=400.\end{cases}$故y=-2x+400.
(2)设这款书包的月销售利润为W(元)，根据题意，得$W=(x-40)(-2x+400)=-2x^{2}+480x-16000=-2(x-120)^{2}+12800.$当x=120时，W取得最大值，最大值为12800.答：当销售单价为120元时，当月的销售利润最大，最大利润是12800元.
(3)
∵这款书包每个的利润率不得高于80\%，$\thereforex-40\le80\%×40.$解得$x\le72.$对于二次函数$W=-2(x-120)^{2}+12800，$当x＜120时，W随x的增大而增大，$\therefore$当x=72时，W取得最大值，最大值为8192.答：当销售单价定为72元时，月销售利润达到最大，最大利润为8192元.