《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 2
如图 10，反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象经过 $ A $，$ B $ 两点，过点 $ A $ 作 $ AC \perp y $ 轴于点 $ C $，过点 $ B $ 作 $ BD \perp y $ 轴于点 $ D $，过点 $ B $ 作 $ BE \perp x $ 轴于点 $ E $，连接 $ AD $。已知 $ AC = 1 $，$ BE = 1 $，$ S_{ 矩形 BDOE} = 4 $，则 $ S_{\triangle ACD} = $ 。

思路点拨
因为 $ \triangle ACD $ 与比例系数 $ k $ 无直接联系，且已知矩形 $ BDOE $ 的面积，所以考虑过点 $ A $ 作 $ AH \perp x $ 轴于点 $ H $，构造矩形 $ ACOH $ 与比例系数 $ k $ 产生联系。根据比例系数 $ k $ 的几何意义可得矩形 $ ACOH $ 的面积，从而可求出 $ CD $，即可得到 $ \triangle ACD $ 的面积。
解
如图 11，过点 $ A $ 作 $ AH \perp x $ 轴于点 $ H $，则四边形 $ ACOH $ 为矩形。

由反比例函数比例系数的几何意义，得 $ S_{ 矩形 ACOH} = S_{ 矩形 BDOE} = 4 $。
$ \because AC = 1 $，$ \therefore OC = 4 $。
$ \because OD = BE $，
$ \therefore CD = OC - OD = OC - BE = 4 - 1 = 3 $。
$ \therefore S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}AC · CD = \frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2} $。
答案
$ \frac{3}{2} $

答案： $\frac{3}{2}$

2. 如图 12，过双曲线 $ y = \frac{3}{x} $($ x ＞ 0 $)上的 $ A $，$ B $ 两点分别向 $ x $ 轴、$ y $ 轴作垂线，垂足分别为 $ C $，$ D $，$ E $，$ F $，$ AC $ 与 $ BF $ 相交于点 $ G $，矩形 $ ADFG $ 和矩形 $ BECG $ 的面积分别为 $ S_1 $，$ S_2 $。如果 $ S_{ 阴影} = 1 $，那么 $ S_1 + S_2 = $ 4。

答案： 2.4 提示：由题意，得S$_{矩形ADOC}$= S$_{矩形BEOF}$=3，即S$_1$+S$_{阴影}$=S$_2$+S$_{阴影}$=3.又S$_{阴影}$=1，所以 S$_1$=S$_2$=2.故S$_1$+S$_2$=4.

例 3
如图 15，正比例函数 $ y = kx $ 与反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象相交于 $ A $，$ C $ 两点，过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的垂线交 $ x $ 轴于点 $ B $，连接 $ BC $，则 $ \triangle ABC $ 的面积等于()。


A.8
B.6
C.4
D.2
思路点拨
由于点 $ A $，$ C $ 位于反比例函数图象上，且关于原点对称，故 $ S_{\triangle OBA} = S_{\triangle OBC} $。再根据反比例函数比例系数 $ k $ 的几何意义可得这两个三角形的面积。
解
$ \because $ 点 $ A $，$ C $ 位于反比例函数图象上，且关于原点对称，
$ \therefore A $，$ C $ 两点到 $ x $ 轴的距离相等。
$ \therefore S_{\triangle OBA} = S_{\triangle OBC} $。
$ \because S_{\triangle OBA} = \frac{1}{2} × 4 = 2 $，
$ \therefore S_{\triangle OBC} = 2 $。
$ \therefore S_{\triangle ABC} = S_{\triangle OBA} + S_{\triangle OBC} = 2 + 2 = 4 $。
答案
C

答案： C