《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

6. (2024四川内江中考)如图15，在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$AD = 5$，点$E$在$DC$上，将矩形$ABCD$沿$AE$折叠，点$D$恰好落在$BC$边上的点$F$处，那么$\tan \angle EFC =$$\frac{4}{3}$。

答案： 6.$\frac{4}{3}$　提示：由矩形的性质，得BC = AD = 5，CD = AB = 3，$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$.由折叠的性质，得AF = AD = 5，EF = DE.在Rt△ABF中，$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=4$.所以CF = BC - BF = 5 - 4 = 1.设CE = x，则EF = DE = CD - CE = 3 - x.在Rt△ECF中，$CE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$，即$x^{2}+1=(3 - x)^{2}$.解得$x=\frac{4}{3}$.所以$CE=\frac{4}{3}$.由此可得，$\tan\angle EFC=\frac{CE}{CF}=\frac{4}{3}$.

7. 如图16，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$的中点，过点$D$作$DE \perp AB$，交$AC$于点$E$，$BC = 12$，$\tan \angle AED = \frac{4}{3}$。求$AD$的长。

答案： 7.解：在Rt△ABC中，$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle A + \angle B = 90^{\circ}$.在Rt△ADE中，$\because$ DE⊥AD，$\therefore \angle A + \angle AED = 90^{\circ}$.$\therefore \angle B = \angle AED$.$\therefore \tan B = \tan\angle AED=\frac{4}{3}$，即$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$.$\because$ BC = 12，$\therefore$ AC = 16.在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{16^{2}+12^{2}}=20$.$\because$ D是AB的中点，$\therefore$ AD = $\frac{1}{2}$AB = 10.

8. 已知直线$l_{1} // l_{2} // l_{3} // l_{4}$，相邻两条平行线间的距离均为$h$，矩形$ABCD$的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图17。若$AB = 7$，$BC = 10$，则$\tan \alpha$的值是$\frac{7}{5}$。

答案：
8.$\frac{7}{5}$　提示：过点A作AE⊥$l_{4}$于点E，过点C作CF⊥$l_{4}$于点F.由
$\angle ABE + \angle\alpha = \angle\alpha + \angle BCF = 90^{\circ}$，得$\angle ABE = \angle BCF$.所以Rt△ABE∽Rt△BCF.则$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{BF}$，即$\frac{7}{10}=\frac{h}{BF}$.所以$BF=\frac{10h}{7}$.在Rt△BCF中，$\tan\alpha=\frac{CF}{BF}=\frac{2h}{\frac{10h}{7}}=\frac{7}{5}$.

1. 正弦与余弦：如图1，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A = $\frac{a}{c}$；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A = $\frac{b}{c}$。

答案： 1.对边 斜边 $\frac{a}{c}$ 邻边 斜边 $\frac{b}{c}$

2. 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都称为锐角A的三角函数。

答案： 2.正弦 余弦 正切

1. 如图2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则sin A的值是(C)。

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 1.C

2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，AB = 3。
(1)cos A = $\frac{2}{3}$，sin B = $\frac{2}{3}$。
(2)由勾股定理，得BC = $\sqrt{AB^{2} - AC^{2}}$ = $\sqrt{5}$，sin A = $\frac{\sqrt{5}}{3}$，cos B = $\frac{\sqrt{5}}{3}$。

答案： 2.
(1)$\frac{2}{3}$
(2)$\frac{2}{3}$
(2)$\sqrt{5}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$