《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 1 一题多问 已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 $。
（1）用配方法把函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 $ 化成 $ y = a(x + h)^2 + k $ 的形式，并指出其对应的抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。
（2）在图 2 的平面直角坐标系中，用描点法画出这个函数的图象。
（3）当 $ x $ 取何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？


解 （1）将二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 $ 配方，得
$ y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x - 8) = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2} $，
即 $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2} $。
由 $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2} $ 可知，其对应的抛物线开口向下，顶点坐标为 $ (1, \frac{9}{2}) $，对称轴为直线 $ x = 1 $。
（2）列表如下。
| $ x $ | $ ·s $ | $ -2 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ ·s $ |
|----|----|----|----|----|----|----|----|
| $ y $ | $ ·s $ | $ 0 $ | $ 4 $ | $ \frac{9}{2} $ | $ 4 $ | $ 0 $ | $ ·s $ |
描点、连线，如图 3。

（3）观察图象知，当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案：
（1）将二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4 $ 配方，得
$ y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x - 8) = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2} $，
即 $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2} $。
由 $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{9}{2} $ 可知，其对应的抛物线开口向下，顶点坐标为 $ (1, \frac{9}{2}) $，对称轴为直线 $ x = 1 $。
（2）列表如下。
| $ x $ | $ ·s $ | $ -2 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ ·s $ |
|----|----|----|----|----|----|----|----|
| $ y $ | $ ·s $ | $ 0 $ | $ 4 $ | $ \frac{9}{2} $ | $ 4 $ | $ 0 $ | $ ·s $ |
描点、连线，如图 3。

（3）观察图象知，当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。