《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

5. 在$\triangle ABC$中，$\angle A$和$\angle B$是锐角，且满足$(\sqrt{3}\tan A - 3)^{2}+|2\cos B-\sqrt{3}|=0$，则$\triangle ABC$为(B).

A.等边三角形
B.直角三角形
C.含$60^{\circ}$的任意三角形
D.顶角为钝角的等腰三角形
小锦囊 根据偶次幂和绝对值的非负性，求出锐角三角函数值，即可推出$\angle A$，$\angle B$的度数.

答案： 课后达标　5.B　提示：由题意，得$\sqrt{3}$tanA−3 = 0，2cosB−$\sqrt{3}$ = 0．则tanA = $\sqrt{3}$，cosB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$．又∠A，∠B是锐角，所以∠A = 60°，∠B = 30°．所以∠C = 180°−∠A−∠B = 90°．故△ABC是直角三角形．

6. 某市在旧城改造中，计划在一块图 3 所示的三角形空地上种植草皮，以美化环境.已知$\angle BAC = 135^{\circ}$，$AB = 20$ m，$AC = 30\sqrt{2}$ m.要铺满这块空地，至少需要多少平方米草皮？
小锦囊 作$AB$边上的高，构造直角三角形.

答案：
课后达标　6.解：如图42，作AB边的高CD，与BA的延长线交于点D．
∵∠BAC = 135°，
∴∠DAC = 45°．在Rt△ACD中，AC = 30$\sqrt{2}$m，sin∠DAC = $\frac{CD}{AC}$，
∴CD = AC·sin∠DAC = 30$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 30(m)．
∵AB = 20m，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}× 20× 30 = 300(m^{2})$．答：要铺满这块空地，至少需要300m²草皮．

7. (教材第 123 页习题 23.1 第 6 题变式)如图 4，在$ Rt\triangle BCD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle DBC = 30^{\circ}$，延长$CB$到点$A$，使$AB = BD$，连接$AD$.根据此图求$\tan 75^{\circ}$的值.（结果保留根号）

答案： 课后达标　7.解：由AB = BD，得∠A = ∠ADB = $\frac{1}{2}$∠DBC = $\frac{1}{2}$×30° = 15°．在Rt△BCD中，∠C = 90°，∠DBC = 30°，故∠BDC = 60°．
∴∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 15° + 60° = 75°．设CD = a，在Rt△BCD中，∠DBC = 30°，
∴BD = 2CD = 2a，BC = $\frac{CD}{\tan 30^{\circ}}$ = $\sqrt{3}$a．又AB = BD = 2a，所以AC = AB + BC = (2 + $\sqrt{3}$)a．在Rt△ACD中，tan∠ADC = $\frac{AC}{CD}$=$\frac{(2+\sqrt{3})a}{a}$ = 2 + $\sqrt{3}$．
∴tan75° = 2 + $\sqrt{3}$．