《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. 如图2，抛物线$y = ax^{2} + bx + c$与直线$y = kx + m$交于$A(-4, -1)$，$B(0, 2)$两点。观察图象可知，当$-4 ＜ x ＜ 0$时(在$A$，$B$两点之间)，抛物线$y = ax^{2} + bx + c$在直线$y = kx + m$的上(填“上”或“下”)方，则关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＞ kx + m$的解集是$-4 ＜ x ＜ 0$。

答案： 2.上 $-4 ＜ x ＜ 0$

例1 （教材第35页习题21.3第9题变式）画出二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$的图象，并根据图象回答：
（1）当$x$取何值时，$y = 0$？
（2）当$x$取何值时，$y ＞ 0$？
（3）当$x$取何值时，$y ＜ 0$？
思路点拨
mermaid
graph TD
A[画二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$图象] --＞ B[与$x$轴交点横坐标]
B --＞ C[$y = 0$]
A --＞ D[图象在$x$轴上方部分]
D --＞ E[$y ＞ 0$]
A --＞ F[图象在$x$轴下方部分]
F --＞ G[$y ＜ 0$]
解 二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$的图象如图3。

（1）根据图象可知，当$x = -1$或$x = 3$时，$y = 0$。
（2）根据图象可知，当$x ＜ -1$或$x ＞ 3$时，$y ＞ 0$。
（3）根据图象可知，当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$y ＜ 0$。

答案： 二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图象绘制及分析：
一、绘制图象步骤
1. 确定顶点坐标
$y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，顶点为$(1,-4)$。
2. 求与$x$轴交点
令$y = 0$，解方程$x^{2}-2x - 3=0$，得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，交点为$(-1,0)$，$(3,0)$。
3. 求与$y$轴交点
令$x = 0$，得$y=-3$，交点为$(0,-3)$。
4. 描点连线
根据顶点、交点及对称性（对称轴$x = 1$）绘制图象。
二、根据图象回答问题
1. 当$x=-1$或$x = 3$时，$y = 0$。
2. 当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$。
3. 当$-1＜x＜3$时，$y＜0$。
（注：图象需标注顶点$(1,-4)$、与坐标轴交点$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$及对称轴$x = 1$。）

例2 已知函数$y_{1} = x^{2}$与$y_{2} = -\frac{1}{2}x + 3$的图象大致如图4。若$y_{1} ＜ y_{2}$，则$x$的取值范围是()。

A.$-\frac{3}{2} ＜ x ＜ 2$
B.$x ＞ 2$或$x ＜ -\frac{3}{2}$
C.$-2 ＜ x ＜ \frac{3}{2}$
D.$x ＜ -2$或$x ＞ \frac{3}{2}$
思路点拨

mermaid
graph TD
A[$\begin{cases} y_{1} = x^{2} \\ y_{2} = -\frac{1}{2}x + 3 \end{cases}$] --＞ B[解方程组]
B --＞ C[交点的横坐标]
D[$y_{1} ＜ y_{2}$] --＞ E[对应抛物线在直线的下方部分]
E --＞ F[$x$的取值范围]
解 由$y_{1} = y_{2}$，得$x^{2} = -\frac{1}{2}x + 3$，即$x^{2} + \frac{1}{2}x - 3 = 0$。
解得$x_{1} = -2$，$x_{2} = \frac{3}{2}$。
$x_{1}$，$x_{2}$即为两个函数图象的交点的横坐标。
由图象可知，若$y_{1} ＜ y_{2}$，即函数$y_{1} = x^{2}$的图象在函数$y_{2} = -\frac{1}{2}x + 3$的图象的下方，则$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜ \frac{3}{2}$。
答案 C

答案： C