《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. (2022 广西玉林中考)如图 2，从热气球 A 看一栋楼底部 C 的俯角是(D)。

A.∠BAD
B.∠ACB
C.∠BAC
D.∠DAC

答案： 课前自测　1.D

2. 如图 3，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 α，AC = 7 m，则树高 BC 为(A)。

A.7tanα m
B.$\frac{7}{\tan \alpha}$ m
C.7sinα m
D.7cosα m

答案： 课前自测　2.A

3. 某飞机在离地面 1800 m 的上空测得地面控制点的俯角为 60°，此时飞机与地面控制点之间的距离为1200$\sqrt{3}$ m。

答案： 课前自测　3.1200$\sqrt{3}$

例 某地为打造适宜旅游的环境，对旅游道路进行改造。图 4 是风景秀美的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道。为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建电动扶梯，经测量，山高 AC = 154 m，步行道 BD = 168 m，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45°，山脚 B 的俯角为 30°，求电动扶梯 AD 的长。(结果保留根号)

思路点拨
如图 4，作相应辅助线。

CF = DE = BD·sin∠DBC，AF = AC - CF → CF 作为“桥梁”
拆分图形 → 解直角三角形 → 求未知线段
Rt△BDE，Rt△ADF，矩形 DECF → AD = $\frac{AF}{\sin \angle ADF}$
解
如图 4，作 DE⊥BC 于点 E，作 DF⊥AC 于点 F，则四边形 DECF 为矩形。
∴ CF = DE，DF = EC。
在 Rt△DBE 中，∠DBC = 30°，
∴ DE = BD·sin30° = 84(m)。
∴ CF = DE = 84 m。
∴ AF = AC - CF = 154 - 84 = 70(m)。
在 Rt△ADF 中，∠ADF = 45°，
∴ AD = $\frac{AF}{\sin 45^{\circ}} = 70\sqrt{2}$(m)。
答：电动扶梯 AD 的长为 $70\sqrt{2}$ m。
易错提示
在利用仰角和俯角解决实际问题时，一定要注意测角仪的高度是否在所测物体的高度内。

答案：
例 某地为打造适宜旅游的环境，对旅游道路进行改造。图 4 是风景秀美的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道。为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建电动扶梯，经测量，山高 AC = 154 m，步行道 BD = 168 m，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45°，山脚 B 的俯角为 30°，求电动扶梯 AD 的长。(结果保留根号)

思路点拨
如图 4，作相应辅助线。

CF = DE = BD·sin∠DBC，AF = AC - CF → CF 作为“桥梁”
拆分图形 → 解直角三角形 → 求未知线段
Rt△BDE，Rt△ADF，矩形 DECF → AD = $\frac{AF}{\sin \angle ADF}$
解
如图 4，作 DE⊥BC 于点 E，作 DF⊥AC 于点 F，则四边形 DECF 为矩形。
∴ CF = DE，DF = EC。
在 Rt△DBE 中，∠DBC = 30°，
∴ DE = BD·sin30° = 84(m)。
∴ CF = DE = 84 m。
∴ AF = AC - CF = 154 - 84 = 70(m)。
在 Rt△ADF 中，∠ADF = 45°，
∴ AD = $\frac{AF}{\sin 45^{\circ}} = 70\sqrt{2}$(m)。
答：电动扶梯 AD 的长为 $70\sqrt{2}$ m。
易错提示
在利用仰角和俯角解决实际问题时，一定要注意测角仪的高度是否在所测物体的高度内。