《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

构建反比例函数模型的依据：
(1)利用所学的公式建立反比例函数模型；
(2)利用问题情境中给出的数量关系建立反比例函数模型。

答案： 构建反比例函数模型的依据为利用所学公式和问题情境中的数量关系。

1. 已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为(A)。
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答案： 1.A

2. 已知近视眼镜的度数y与镜片焦距x(m)之间成图1所示的反比例函数关系，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数表达式为(D)。

A.$ y = 200x $
B.$ y = \frac{200}{x} $
C.$ y = 100x $
D.$ y = \frac{100}{x} $

答案： 2.D

3. (跨学科)根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m²)的反比例函数，其函数图象如图2。当$ S = 0.25m² $时，这个物体承受的压强p的值为400Pa。

答案： 3.400

例 为响应“保护生态环境，建设绿色家园”，某化工厂引进了新的排污设备进行治污处理，并适当限产，由此引发该厂在一段时间内的月利润有所下降。如图3，1月份~5月份该厂月利润y(万元)与月份x成反比例关系，到5月底，治污改造工程顺利完工，5月份~12月份，该厂月利润y(万元)与月份x满足函数关系式$ y = 20x + b $。

(1)分别求这家化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数表达式。
(2)这家化工厂在几月份月利润为100万元？
思路点拨

(1) $\boxed{(1,200)}\xrightarrow{代入}\boxed{y=\frac{k}{x}}\xrightarrow{得k}$
$\boxed{(5,40)}\xrightarrow{代入}\boxed{y=20x+b}\xrightarrow{得b}$
(2) $\boxed{y=100}\xrightarrow{代入}\begin{cases}\boxed{y=\frac{k}{x}}\\\boxed{y=20x+b}\end{cases}\xrightarrow{得x}$
解
(1)当$ 1 \leq x \leq 5 $时，设$ y = \frac{k}{x} $。
把$ (1,200) $代入$ y = \frac{k}{x} $，得$ 200 = \frac{k}{1} $。
解得$ k = 200 $。
∴ 这家化工厂治污期间，y与x之间的函数表达式为$ y = \frac{200}{x}(1 \leq x \leq 5) $。
把$ x = 5 $代入$ y = \frac{200}{x} $，得$ y = 40 $。
把$ (5,40) $代入$ y = 20x + b $，
得$ 20 × 5 + b = 40 $。
解得$ b = -60 $。
∴ 这家化工厂治污改造工程完工后，y与x之间的函数表达式为$ y = 20x - 60(5 ＜ x \leq 12) $。
(2)把$ y = 100 $代入$ y = \frac{200}{x} $，
得$ 100 = \frac{200}{x} $。
解得$ x = 2 $。
把$ y = 100 $代入$ y = 20x - 60 $，得$ 20x - 60 = 100 $。
解得$ x = 8 $。
答：这家化工厂在2月份、8月份月利润为100万元。
易错提示
在实际问题中，反比例函数自变量和函数值的取值要符合实际意义。

答案：
(1)当$ 1 \leq x \leq 5 $时，设$ y = \frac{k}{x} $。
把$ (1,200) $代入$ y = \frac{k}{x} $，得$ 200 = \frac{k}{1} $。
解得$ k = 200 $。
∴ 这家化工厂治污期间，y与x之间的函数表达式为$ y = \frac{200}{x}(1 \leq x \leq 5) $。
把$ x = 5 $代入$ y = \frac{200}{x} $，得$ y = 40 $。
把$ (5,40) $代入$ y = 20x + b $，
得$ 20 × 5 + b = 40 $。
解得$ b = -60 $。
∴ 这家化工厂治污改造工程完工后，y与x之间的函数表达式为$ y = 20x - 60(5 ＜ x \leq 12) $。
(2)把$ y = 100 $代入$ y = \frac{200}{x} $，
得$ 100 = \frac{200}{x} $。
解得$ x = 2 $。
把$ y = 100 $代入$ y = 20x - 60 $，得$ 20x - 60 = 100 $。
解得$ x = 8 $。
答：这家化工厂在2月份、8月份月利润为100万元。