《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

4. 如图 9，在△ABC 中，cos B = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin C = $\frac{3}{5}$，AC = 10，求△ABC 的面积。

答案： 课后达标　4.解:过点A作AD⊥BC于点D.
∵　sinC=$\frac{3}{5}$,AC=10,
∴　$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AD}{10}$=$\frac{3}{5}$.解得AD=6.
∴　CD=$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$=　$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵　cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,∠ADB=90°,
∴　∠B=45°.
∴　∠BAD=∠B=45°.
∴　BD=AD=6.
∴　BC=BD+CD=6+8=14.
∴　$S_{\triangle ABC}$=$\frac{BC· AD}{2}$=$\frac{14×6}{2}$=42.

5. (2022 四川乐山中考)如图 10，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = √5，点 D 是 AC 上一点，连接 BD。若 tan A = $\frac{1}{2}$，tan ∠ABD = $\frac{1}{3}$，则 CD 的长为(C)。


A.2√5
B.3
C.√5
D.2

答案： 课后达标　5.C　提示:过点D作DE⊥AB于E.由tanA=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$,tan∠ABD=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{1}{3}$,得AE=2DE,BE=3DE.则AB=AE+BE=5DE.在Rt△ABC中,由tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$,BC=$\sqrt{5}$,得AC=2$\sqrt{5}$.由勾股定理，得AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=5.故DE=1,AE=2.由勾股定理,得AD=$\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{5}$.故CD=AC−AD=$\sqrt{5}$.

6. (2022 黑龙江齐齐哈尔中考)在△ABC 中，AB = 3√6，AC = 6，∠B = 45°，则 BC = $3\sqrt{3} + 3$或$3\sqrt{3} - 3$。
小锦囊 要对△ABC 是锐角三角形，还是钝角三角形进行分类讨论。

答案：
课后达标　6.$3\sqrt{3} + 3$或$3\sqrt{3} - 3$　提示:①如图43,当△ABC为锐角三角形时,过点A作AD⊥BC于点D,则AD=BD=AB·sin45°=3$\sqrt{3}$,CD=$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$=3,故BC=BD+CD=3$\sqrt{3} + 3$.②如图44,当△ABC为钝角三角形时，过点A 作AD⊥BC交BC延长线于点D,则AD=BD=AB·sin45°=3$\sqrt{3}$,CD=$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$=3,故BC=BD−CD=3$\sqrt{3} - 3$.
　　　

7. (教材第 125 页例 2 变式)如图 11，在△ABC 中，AB = c，AC = b，BC = a。求证：$\frac{b}{\sin B}$ = $\frac{c}{\sin C}$。

答案： 课后达标　7.证明:过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,AD=c·sinB,在Rt△ACD中,AD=b·sinC.
∴　c·sinB=b·sinC.又b,c,sinB,sinC均不为0,
∴　$\frac{b}{\sin B}$=$\frac{c}{\sin C}$.

仰角、俯角：如图 1，在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时，叫做仰角；当视线在水平线下方时，叫做俯角。

答案： 知识梳理　仰角　俯角