《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

3. 如图11，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O点于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若PA=5，则△PCD的周长为10.

答案： 3.10

4. 如图12，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=219°.

答案： 4.219

5. 如图13，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC=BC.

答案： 5.证明:
∵ PA，PB是⊙O的切线，
∴ PA=PB，∠APC=∠BPC.又PC=PC，
∴ △APC≌△BPC(SAS).
∴ AC=BC.

6. 如图14，已知⊙O与△ABC中AB，AC边的延长线及BC边均相切，且∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB=5，则⊙O的半径长是2.

答案：
6.2 提示:如图91,设BC,AC,AB与⊙O的切点分别为点E,D,F,连接OD,OE,则OD⊥AD,OE⊥BC.由切线长定理,得AF=AD,BE=BF,CE=CD.又∠ACB=90°,OE=OD,所以四边形ODCE是正方形.设OD=r,则CD=CE=r.因为BC=3,所以BE=BF=3 - r.因为AB=5,AC=4,所以AF=AB - BF=5 - (3 - r)，AD=AC - CD=4 - r,即5 - (3 - r)=4 - r.解得r=2.

7. （2023广西中考）如图15，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.
（1）求证：PB是⊙O的切线.
（2）已知⊙O的半径为4，OC=5，求PA的长.

答案： 7.
(1)证明:
∵ PA与⊙O相切于点A,
∴ OA⊥PA.又
∵ PO平分∠APD,OB⊥PD,
∴ OA=OB.
∴ OB是⊙O的半径.
∴ PB是⊙O的切线.
一题多解
(2)解:(方法一)
∵ ⊙O的半径为4,
∴ OA=OB=4.
∵ OB⊥PD,OC=5,
∴ BC=$\sqrt{OC^{2}-OB^{2}}$ =3,AC=OA+OC=9.
∵ ∠BCO=∠ACP,
∴ tan∠BCO=tan∠ACP.
∴ $\frac{OB}{BC}$=$\frac{PA}{AC}$,即$\frac{4}{3}$=$\frac{PA}{9}$解得PA=12.　(方法二)设PA=x,
∵ PA,PB 为⊙O的切线,
∴ PB=PA=x.同方法一知,BC=3,AC=9.在Rt△ACP中,由勾股定理,得PA²+AC²=PC²,即x²+9²=(x+3)².解得x=12.
∴ PA=12.

8. （教材第38页例5变式）实践与探究
【提出问题】
如图16，四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD与⊙O分别相切于点E，F，G，H，AB=10，BC=7，CD=8.求AD的长.
【问题分析】
根据教材第38页例5可知，先证得AB+CD=AD+BC，即可求出AD的长.
【问题拓展】
请同学们用不同于“问题分析”中的方法或思路，求AD的长.

答案： 8.解:
∵ AB,BC,CD,AD分别与⊙O相切于点E,F,G,H,
∴ AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH.
∵ AB=10,BC=7,CD=8,
∴ AB=AE+BE=10①;BC=BF+CF=7,即BE+CF=7②;CD=CG+DG=8,即CF+DG=8③.①+②+③,得AE+2(BE+CF)+DG=25.
∵ BE+CF=7,
∴ AE+DG=11.
∵ AD=AH+DH=AE+DG,
∴ AD=11.