《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

17. （16 分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件 8 元，在销售过程中发现，每天的销售量 $ y $（件）与每件售价 $ x $（元）之间存在一次函数关系（其中 $ 8 \leq x \leq 15 $，且 $ x $ 为整数）。当每件消毒用品售价为 9 元时，每天的销售量为 105 件；当每件消毒用品售价为 11 元时，每天的销售量为 95 件。
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
（2）若这个商店销售这种消毒用品每天获得 425 元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设这个商店销售这种消毒用品每天获利 $ w $（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

答案： 17.解：
(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b$。根据题意，得$\begin{cases}9k + b = 105, \\11k + b = 95. \end{cases}$解得$\begin{cases}k = - 5, \\b = 150. \end{cases}$$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y = - 5x + 150$。
(2)根据题意，得$( - 5x + 150)(x - 8) = 425$。解得$x_1 =$$13$，$x_2 = 25$(不合题意，舍去)。答：若这个商店销售这种消毒用品每天获得$425$元的利润，则每件消毒用品的售价为$13$元。
(3)根据题意，得$w = y(x - 8) = ( - 5x + 150)(x -$$8) = - 5x^{2} + 190x - 1200 = - 5(x - 19)^{2} + 605$。当$x ＜ 19$时，$w$随$x$的增大而增大，又$8 \leq x \leq 15$，$\therefore$当$x = 15$时，$w$有最大值，最大值为$525$。答：每件消毒用品的售价为$15$元时，每天的销售利润最大，最大利润是$525$元。

18. （20 分）综合与实践
【问题提出】 某班开展课外锻炼，有 7 名同学组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】 在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
- 步骤一：收集身高数据如下。
- 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两名身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳。
- 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时 7 名队员每两人间的距离至少为 0.5 m 才能保证安全。
- 步骤四：如图 8，两名甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离 $ AC = 4 m $，手离地面的高度 $ AB = CD = 1.2 m $，绳子最高点距离地面 2 m 时，效果最佳。
【问题解决】 如图 9，当甩动到最高点时，绳子的形状可近似看成一条抛物线，以 $ AC $ 所在直线为 $ x $ 轴， $ AB $ 所在的直线为 $ y $ 轴，建立平面直角坐标系。
（1）求这条抛物线对应的函数表达式。
（2）最高的队员位于 $ AC $ 的中点处，其余跳绳队员对称安排在其两侧。
①当跳绳队员之间正好保持 0.5 m 的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶？
②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离 $ n $ 的取值范围。

答案： 18.解：
(1)由题意，得$(0,1.2)$，$(4,1.2)$在这条抛物线上，且这条抛物线的顶点坐标为$(2,2)$。设这条抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 2)^{2} + 2$，把$(0,1.2)$代入，得$1.2 =$$4a + 2$。解得$a = - 0.2$。$\therefore$这条抛物线对应的函数表达式为$y = - 0.2(x - 2)^{2} + 2$。
(2)①抛物线$y = - 0.2(x - 2)^{2} + 2$的对称轴为直线$x =$$2$，$5$名队员以直线$x = 2$为对称轴，分布在对称轴的两侧，对称轴左侧的$2$名队员所在位置的横坐标分别是$2 - 0.5 =$$1.5$，$1.5 - 0.5 = 1$，对称轴右侧的$2$名队员所在位置横坐标分别是$2 + 0.5 = 2.5$，$2.5 + 0.5 = 3$。当$x = 1$时，$y = - 0.2(1 -$$2)^{2} + 2 = 1.8 ＞ 1.73$，当$x = 1.5$时，$y = - 0.2(1.5 - 2)^{2} + 2 =$$1.95 ＞ 1.73$，$\therefore$长绳能高过所有跳绳队员的头顶。②当$y = 1.6$时，$- 0.2(x - 2)^{2} + 2 = 1.6$，解得$x = 2 + \sqrt{2}$或$x = 2 - \sqrt{2}$。又$2 - \sqrt{2} ＞ 0.5$，$\therefore$最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离$n$的最小值为$2 - \sqrt{2}$。$\because AC =$$4m$，$7$名队员每两人间的距离至少为$0.5m$才能保证安全，$\therefore$最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最大值为$(4 - 4 × 0.5) ÷ 2 = 1(m)$。$\therefore$最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离$n$的取值范围为$2 - \sqrt{2} \leq n \leq 1$。