《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

答案： 1.圆心

2. 有关定理：
(1) 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
(2) 定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

答案： 2.
(1)平分 弧
(2)直径 垂直 平分

3. 弦心距：圆心到弦的距离。

答案： 3.距离

1. 如图1，已知AB为⊙O的弦，C为AB的中点，连接OC，则∠ACO的度数为(D)。


A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$80^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 1.D

2. (教材第17页练习第3题变式)判断正误：
(1) 圆有无数条对称轴。 (√)
(2) 若直径平分弧，则此直径也平分这条弧所对的弦。 (√)
(3) 若直径垂直于弦，则此直径一定平分这条弦。 (√)

答案： 2.
(1)√
(2)√
(3)√

3. 一条排水管的截面如图2，已知排水管的半径OB=5cm，水面宽AB=8cm。过点O作OC⊥AB于点C，则BC的长为4cm。截面圆心O到水面的距离为3cm。

答案： 3.4 3

- 例1 如图3，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O。
(1) 求折痕AB的长。
(2) 连接OA，OB，求∠AOB的度数。
- 思路点拨
(1) 已知半径求弦长，一般过圆心作弦的垂线段，利用垂径定理和勾股定理求解。
(2) △OAB是等腰三角形，故只要求出∠OAB或∠OBA，即可求出∠AOB。在(1)中构造的直角三角形内，利用锐角三角函数值可求出相应的锐角。
- 解
(1) 如图4，过点O作OD⊥AB于点D。

∵ ⊙O的半径为2cm，
∴ OA=OB=2cm。
由折叠的性质知，2OD=2cm，∴ OD=1cm。
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
$AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$（cm）。
∵ OD⊥AB，
∴ $AB=2AD=2\sqrt{3}$cm。
(2) 在Rt△OAD中，OD=1cm，OA=2cm，
∴ $\sin\angle OAD=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{2}$。
∴ $\angle OAD=30^{\circ}$，即$\angle OAB=30^{\circ}$。
∵ OA=OB，
∴ $\angle OBA=\angle OAB=30^{\circ}$。
∴ $\angle AOB=180^{\circ}-\angle OAB-\angle OBA=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$。

答案：
(1) 过点 $O$ 作 $OD \perp AB$于点 $D$，
$\because \odot O$的半径为$2 cm$，
$\therefore OA = OB = 2 cm$，
由折叠的性质知$2OD = 2 cm$，
$\therefore OD = 1 cm$，
在$Rt \bigtriangleup OAD$中，由勾股定理，得$AD = \sqrt{OA^{2} - OD^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}( cm)$，
$\because OD \perp AB$，
$\therefore AB = 2AD = 2\sqrt{3} cm$。
(2) 在$Rt \bigtriangleup OAD$中，$OD = 1 cm$，$OA = 2 cm$，
$\therefore\sin\angle OAD = \frac{OD}{OA} = \frac{1}{2}$，
$\therefore\angle OAD = 30^{\circ}$，即$\angle OAB = 30^{\circ}$，
$\because OA = OB$，
$\therefore\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}$，
$\therefore\angle AOB = 180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$。